高中数学全程复习-7.3直线与平面垂直

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1、第三节 直线与平面垂直 【教材知识精梳理】 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线a与一个平面内的_一条 直线都垂直,我们就说直线a与平面互相垂直,记作 _. 任意 a (2)判定定理与性质定理: 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一条直线与 一个平面内的_ _垂 直,那么这条直线 垂直于这个平面 a 两 条相交直线 _ _ _ _ m,n mn=A am an 文字语言图形语言符号语言 性质 定理 如果两条直线垂 直于同一个平面, 那么这两条直线 _ ab 平行 _ _ a b 2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线与_ 所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.

2、它在这个平面内的射影 (2)两个特例: 一条直线垂直于平面,它们所成的角是_. 一条直线与平面平行或在平面内,它们所成的角 是_的角. (3)范围: _. 直角 0 【教材拓展微思考】 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂 直于这个平面吗? 提示:垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面,那么 在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异 面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与 平面内的那两条直线成90度的角,即垂直于平面内的这 两条相交直线,所以垂直于这个平面. 2.“若直线l与平面内的无数条直线成90,则l与 垂直”这句话正确吗? 提示:不正确.l与可能平行,相交

3、或在平面内. 【教材母题巧变式】 题号1234 源自P38T3P40T4P41T8P40T3 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD与平面AC1C的关系 是_. 【解析】由于四边形ABCD为正方形,故ACBD, 又CC1平面ABCD,所以CC1BD, 又ACCC1=C, 故BD平面AC1C. 答案:垂直 2.下列条件中,能判定直线l平面的是_. l与平面内的两条直线垂直; l与平面内无数条直线垂直; l与平面内的某一条直线垂直; l与平面内任意一条直线垂直. 【解析】由直线与平面垂直的定义,可知正确. 答案: 3.如图,在三棱锥V-ABC中,VAB=VAC=ABC=90, 则构成三

4、棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为 _. 【解析】 BCVB.所以有4个直角三角形. 答案:4 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC1与平面ABCD所 成的角的正切值为_. 【解析】由于CC1平面ABCD,故AC是斜线AC1在平面 ABCD内的射影, 故在RtACC1中,tanC1AC= 答案: 考向一 与线面垂直有关的命题的真假判断 夯基练透 【技法点拨】 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准, 甚至无需作图在头脑中形成印象来判断. (2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确. (3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或

5、性 质定理进行简单说明. 【基础保分题组】 1.若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,则能 保证该直线与平面垂直的是_(填序号). 三角形的两边;梯形的两边; 圆的两条直径;正六边形的两条边. 【解析】由线面垂直的判定可知正确,错误. 答案: 2.已知m,n表示两条不同的直线,表示平面,下列说法 正确的是_. 若m,n,则mn 若m,n,则mn 若m,mn,则n 若m,mn,则n 【解析】如图: 正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1,AB1都与平面CC1D1D平 行,但是直线AA1,AB1相交,故错误;根据线面垂直的定 义,一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平面内 的任一条直

6、线,可见正确; 对于,可能有n ;对于,n与还可能平行或相交 . 答案: 【拓展提升高考模拟预测】 3.已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则 下列命题正确的序号是_. 若,垂直于同一平面,则与平行; 若m,n平行于同一平面,则m与n平行; 若,不平行,则在内不存在与平行的直线; 若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面. 【解析】 序号具体分析结论 平面,垂直于同一个平面,则 ,相交或平行 错误 直线m,n平行于同一个平面,则m与n平 行、相交或异面 错误 序号具体分析结论 若,不平行,则在内存在与平 行的直线,如中平行于与交线 的直线,则此直线也平行于平面 错误 若m,n垂直于同

7、一个平面,则mn,其 逆否命题为 正确 答案: 4.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面, 则下列说法正确的是_. 若mn,n,则m; 若m,则m; 若m,n,n,则m; 若mn,n,则m. 【解析】对,若mn,n,则m 或m或 m,故错误;对,若m,则m 或 m或m,故错误;对,若m,n,n, 则m,故正确;对,若mn,n,则 m 或m或m,故错误. 答案: 5.(2017无锡模拟)已知不同的直线l,m,不同的平面 ,下列命题中:若,l,则l;若 ,l,则l;若l,m,则lm;若 ,=l,ml,则m.真命题的序号为 _. 【解析】两平面平行,则平面内任何一条直线必平行于 另一个平面,故

8、是真命题;两平面平行,若一条直线垂 直于其中一个平面,则必垂直于另一个平面,故是真 命题;对于,直线l也有可能与直线m异面,故是假命 题;对于,若直线m不在平面内,则不成立,故是假 命题.所以真命题有2个. 答案: 【加固训练】1.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连结 PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的序号是_. 平面PAB平面PBC;平面PAB平面PAD;平面 PAB平面PCD;平面PAB平面PAC. 【解析】由PA平面ABCD,BC 平面ABCD得PABC,又 BCAB,PAAB=A,则BC平面PAB, 又BC 平面PBC,得平面PAB平面PBC,故正确,同理 可证正确.

9、 答案: 2.设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面 ,则ab的一个充分条件是_. ac,bc;,a,b; a,b; a,b. 【解析】对于,在平面内存在mb,因为a,所 以am,故ab;,中,直线a,b可能是平行直线,相 交直线,也可能是异面直线;中一定推出ab. 答案: 考向二 证明直线与平面垂直 高频考点微课 【考情快递】 命题点命题视角 1.证明直线与平面 垂直 主要考查利用线面垂直的判定 定理,由线线垂直证明线面垂直 2.利用线面垂直的 性质证明线线垂直 主要考查线面垂直的判定定理 与性质定理 【考题例析】 命题点1:证明直线与平面垂直 【微思考】证明线面垂直的关键是什么?

10、【微提示】证明线面垂直的关键是在待证平面内找两 条相交直线与已知直线垂直. 【典例】(2017盐城模拟)如图所示,直角ABC所在 的平面外一点S,SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.求证: 直线SD平面ABC. 世纪金榜导学号97062220 【解题指南】只需证明SDAC,SDBD即可. 【规范解答】因为SA=SC,点D为斜边AC的中点,所以 SDAC,连结BD,在RtABC中,则AD=DC=BD, 所以ADSBDS,所以SDBD, 又因为ACBD=D,所以SD平面ABC. 【母题变式】1.在本例中,若AB=BC,其他条件不变,则 BD与平面SAC的位置关系是什么? 【解析】因为AB=BC

11、,点D为斜边AC的中点, 所以BDAC, 又由例题知SDBD, 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线, 故BD平面SAC. 2.若将典例改为:已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,且 PA=PC,PB=PD.若O是AC与BD的交点,求证:PO平面 ABCD. 【证明】在PBD中,PB=PD,O为BD的中点, 所以POBD, 在PAC中,PA=PC,O为AC的中点, 所以POAC, 又因为ACBD=O,所以PO平面ABCD. 命题点2:利用线面垂直的性质证明线线垂直 【微思考】线线垂直、线面垂直、面面垂直可以相互 转化吗? 【微提示】可以.由于“线线垂直”、“线面垂直”、 “面面垂直”之间可以

12、相互转化,注意平面图形中的一 些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的 基础. 【典例】(2015江苏高考)如图,在直三棱柱ABC- A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1.设AB1的中点为D, B1CBC1=E. 世纪金榜导学号97062221 求证:(1)DE平面AA1C1C. (2)BC1AB1. 【解题指南】(1)通过证明DEAC证明DE平面 AA1C1C.(2)通过证明BC1平面AB1C证明BC1AB1. 【规范解答】(1)由题意知,E是B1C的中点.在三角形 AB1C中,D是AB1的中点,所以DE是三角形AB1C的中位线, 所以DEAC.又因为AC 平面AA1C1C,D

13、E 平面AA1C1C,所 以DE平面AA1C1C. (2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,且ACBC,所以AC平 面BB1C1C,所以ACBC1.又因为BC=CC1,所以BB1C1C是正 方形,所以BC1B1C.又B1CAC=C,所以BC1平面AB1C, 所以BC1AB1. 【技法点拨】 1.证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也 与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则 与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理. 2.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. (

14、2)利用等腰三角形底边中线的性质. (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直线与平面垂直的性质. 【拓展提升高考模拟预测】 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC底面ABCD,底面ABCD是 矩形,BC=PC,E是PA的中点. 世纪金榜导学号97062222 (1)求证:PB平面CDE. (2)已知点M是AD的中点,点N是AC上一点,且平面PDN 平面BEM.若BC=2AB=4,求点N到平面CDE的距离. 【解析】(1)取PB的中点F,连结CF和EF, 因为E是PA的中点,所以EFABDC, 所以平面CDE与平面CEF为同一平面, 因为PC底面ABCD,底面ABCD是矩形, 所以DCPC,DCBC,即DC平面PBC,所以DCPB. 因为BC=PC,所以CFPB,因为CDCF=C,所以PB平面 CDE. (2)过D作DGBM交BC于G,连结PG, 因为M是AD的中点,所以E