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1、太原市 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1.椭圆的焦距为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 9【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程得出,，进而可求出，即可求出结果.【详解】因为椭圆的方程为，所以,，因此，所以，所以焦距为.故选C【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，由椭圆方程求出,即可，属于基础题型.2.命题：“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由命题的否定，可直接写出结果.【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：“，”的否定是“，”.故选A【点睛】本题主要考查含
2、有一个量词的命题的否定，改量词改结论即可，属于基础题型.3.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，线段的中点的坐标，即故选4.下列命题是真命题的是()A. 且B. 1是奇数且1是素数C. 2是偶数或3不是素数D. 周长或面积相等的两个三角形全等【答案】C【解析】【分析】根据复合命题的真假，逐项判断即可.【详解】A，故A错；B中1不是素数，故B错；C中“2是偶数”是真，“3不是素数”为假，所以“2是偶数或3不是素数”为真；D中周长或面积相等的两个三角形都不一定全等，所以D错.故选C【点睛】本题主要考查复合命题的真假，属于基础题型.5.抛
3、物线的焦点到准线的距离是()A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线的焦点到准线的距离等于p，可直接得出结果.【详解】因为抛物线的方程为，即，所以，因此焦点到准线的距离是.故选D【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记性质即可，属于基础题型.6.已知空间直角坐标系中点，若在z轴上取一点，使得最小，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，若最小，只需轴，进而可求出结果.【详解】因为，若在z轴上取一点，使得最小，只需轴，所以点竖坐标为3，故点的坐标为.故选C【点睛】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题型.7.“”是“方程表示椭圆”的（ ）A
4、. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设，表示圆，不一定为椭圆.反之，若方程表示椭圆，则.故为必要不充分条件.8.若直线的方向向量为，平面a的法向量为，则可能使的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】若，则，因此只需向量数量积为0即可.【详解】A中，所以排除A；B中，所以排除B；C中，所以排除C；D中，所以，能使.故选D【点睛】本题主要考查空间向量的方法判断线面平行，由向数量积为0即可，属于基础题型.9.已知三点，则以为方向向量的直线与平面系是（ ）A. 垂直B. 不垂直C. 平行D. 以上都有可能【答案】A
5、【解析】由题意，所以以为方向向量的直线与平面垂直，故选A.10.已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，设，由，得 ,因为在的渐近线上存在点，则，即 ，又因为为双曲线，则 ，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关
6、键.11.若的三个顶点分别为，则角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出与的坐标，再由向量的夹角公式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，由向量的坐标运算即可求解，属于基础题型.12.已知正方体的棱长为1，点是平面的动点，若点到直线的距离等于点到直线的距离，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 直线【答案】B【解析】【分析】以点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，根据点到直线的距离等于点到直线的距离，建立等量关系，即可求出结果.【详解】以点为坐标原点，
7、方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，因为点是平面的动点，所以设，因此到直线的距离为，点到直线的距离为,又因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以，即，为双曲线.故选B【点睛】本题主要考查立体几何中点的轨迹问题，由空间向量的方法，列等量关系即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）13.双曲线的实轴长为_。【答案】【解析】【分析】由双曲线方程可直接得出结果.【详解】因为双曲线中，所以，因此实轴长为.故答案为【点睛】本题主要考查由双曲线的方程求实轴长的问题，属于基础题型.14.命题“如果，那么且”的逆否命题是_【答案】如果 或 ，则 【解析】
8、【分析】由四种命题之间的关系，即可写出结果.【详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果 或 ，则 ”.故答案为：如果 或 ，则 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.15.已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且它们的离心率之和为，则双曲线的方程是_【答案】【解析】【分析】由双曲线与椭圆有共同焦点，可求出焦点坐标得到，再由离心率之和为可求出双曲线离心率，进而求出，即可求出双曲线方程.【详解】因为双曲线与椭圆有共同的焦点，所以，且焦点在轴上；设双曲线的方程为，又离心率之和为，所以，解得，所以，因此双曲线的方程是.故答案为【点睛】本题主要考查求双曲线的方程，熟记椭圆与双曲
9、线的性质即可，属于基础题型.16.空间四点满足，则_。【答案】0【解析】【分析】由代入，再由代入进一步化简整理即可.【详解】因为.故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共5小题，共52分，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上判断命题p的否定的真假；若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围【答案】（1）为假；（2）.【解析】【分析】（1）根据判别式显然成立，即可判断出结果；（2）先求出为真时，实数m的取值范围，再由“且”是假命题，
10、“或“是真命题，判断出、的真假，进而可得出结果.【详解】（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；（2）由已知得，为真时，所以为假时，或因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，所以【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型.18.已知抛物线C：经过点求抛物线C的方程；若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为，求直线AB的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将点代入，即可求出结果；先设点坐标分别为，结合抛物线方程，作差求出直线AB的斜率，进而可求出结果.【详解】（1）由题知抛物线经过点代入，解得，故抛物线方程为；（2）设点坐标分别为
11、，由为抛物线上的不同两点，故有，由得，整理得，又的中点坐标为，则，代入得，直线过点，直线的方程为，即.【点睛】本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点差法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果.19.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱、上的点，且.（1）求线段的长（2）求异面直线与所成的角【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】用空间向量的方法：以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，求出的坐标，进而可求出，与的坐标；（1）由向量的模的坐标表示即可求出结果；（2）求出与夹角的余弦值，即可得出结果.【详解】以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，根据题意及，可得：，（1）
12、（2），故异面直线与所成的角为.【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，建立适当的坐标系，求线段长即是求向量的模；求直线是方向向量夹角即可求出异面直线所成的角，属于基础题型.20.已知椭圆C：的左右焦点分别为，焦距为2，过点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接，且的周长为求椭圆C的标准方程；若直线AB的斜率为1，且，求的值【答案】（1）；（2）或3.【解析】【分析】（1）由焦距为2，求出；再由的周长为，求出，进而即可求出结果；（2）先由题意得到直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，求出坐标，即可得出结果.【详解】（1）由题意得，又因为，故可得，从而椭圆的标准方程为（2）由题意可得直线的方程
13、为：，联立，可得，从而，或者，由题意，当坐标分别为，时，故；当坐标分别为，时，故，综上，或3.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆交点的坐标问题，只需联立直线与椭圆方程求解即可，属于常考题型.21.已知四边形为直角梯形，过的中点作，交于点，沿将四边形折起，连接、.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面平行的判定定理，先证明平面平面，进而可得平面；（2）以点为原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，求出两向量的夹角，即可得出结果.【详解】（1）在未折叠之前有：是的中点，则，又，且，则四边形是正方形，折叠之后，取中点，连接，则，又且即，则四边形是平行四边形，且，即，四边形是平行四边形，四边形为平行四边形，平面平面，平面，平面（2）因为平面平面，所以易得两两垂直，因此以点为原点，为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，平面的法向量为，由 ，令，得， ，令，得，因为二面角是钝二面角，所以其大小为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间向量的方法求二面角的大小，通常需要求出两平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值即可，属于常考题型.
