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1、浙江省金华十校2018-2019学年第一学期期末调研考试高二数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在空间直角坐标系中，点与点（ ）A. 关于平面对称 B. 关于平面对称C. 关于平面对称 D. 关于轴对称【答案】C【解析】【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.【详解】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系，考查理解和记忆能力，属于基础题.2.圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离【答案】A【解析】【分析】计算两
2、个圆的圆心距以及，比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆的圆心分别为，圆心距，两个圆半径均为，故，所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的圆心和半径以及圆心距的计算，属于基础题.3.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“”时，如，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.4.给定两个命题：为“若，则”的逆
3、否命题；为“若，则”的否命题，则以下判断正确的是（ ）A. 为真命题，为真命题 B. 为假命题，为假命题C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题【答案】C【解析】【分析】判断原命题的真假性，得出其逆否命题的真假性.写出的否命题，并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于原命题显然为真命题，故其逆否命题也为真命题.对其否命题是“若，则”，由于时，故否命题是假命题.所以为真命题，为假命题，故选C.【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查命题真假性的判断，属于基础题.5.设是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）A. 存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面B. 存在与都垂直的直线
4、，不存在与都平行的平面C. 不存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面D. 不存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面【答案】A【解析】【分析】画出一个正方体，根据正方体的结构特征，结合线、面平行和垂直的定理，判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示，分别是的中点.由图可知，平面，平面.由此判断A选项正确，本题选A.【点睛】本小题主要考查空间异面直线的位置关系，考查线面平行等知识，属于基础题.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得函数的导数，然后令求出正确选项.【详解】依题意有，故，所以选D.【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数
5、计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.7.如图，在空间四边形中，则异面直线与所成角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过计算出的数量积，然后利用夹角公式计算出与所成角的余弦值，进而得出所成角的大小.【详解】依题意可知, .设直线与所成角为，则，故.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量的数量积，计算空间两条异面直线所成角的大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要求两条异面直线所成的角，可以通过向量的方法，通过向量的夹角公式先计算出夹角的余弦值，再由此得出所成角的大小.8.经过坐标原点的直线与曲线相切于点.若，则
6、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得函数在上的表达式，利用导数求得切线的斜率，写出切线方程，利用切线方程过原点求出切点的坐标满足的等式，由此得出正确选项.【详解】当时，故，.所以切点为，切线的斜率为，由点斜式得，将原点坐标代入得，即，故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点的曲线切线方程的求解方法，考查含有绝对值的函数的解析式，考查利用导数求曲线的切线方程，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.本题的关键点有两个：一个是函数在上的表达式，另一个是设出切点，求出切线方程后，将原点坐标代入化简.9.已知椭圆的右焦点是，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使是等腰直角三角形，则椭圆的
7、离心率不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别根据为直角时，椭圆的离心率，由此得出正确的选项.【详解】当时，代入椭圆方程并化简得，解得.当时，故.当时，即，解得.综上所述，C选项不可能，故选C.【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形的性质，考查椭圆离心率的求解方法，属于中档题.10.在正方体中，分别为线段、上的动点，设直线与平面、平面所成角分别是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在图中分别作出直线与平面、平面所成的角，根据边长判断出，求出的表达式，并根据表达式求得的最小值，也即是的最大值.【详解】设正方体边长为.过作，而，故平面，故.同理过作
8、，得到.由于，故，所以，即.而，当取得最小值时，取得最小值为，即取得最大值为.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成的角，考查三角函数最值的判断与求解，属于中档题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知直线：，若的倾斜角为，则实数_；若直线与直线垂直，则实数_【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】根据倾斜角求得斜率，由此列方程求得的值.根据两直线垂直的条件列方程，由此解出的值.【详解】当倾斜角为时，斜率为，故.由于直线和直线垂直，所以，解得（时不是直线方程，舍去）.【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题.12.已
9、知函数，则在处的切线方程为_；单调递减区间是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求得的导数，由此求得切线的斜率，并求得切线方程，根据导数求得函数的单调区间.【详解】依题意.，故切线方程为.由，解得，即函数的单调递减区间为.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题.13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_；该几何体的体积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的
10、体积.【详解】由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知，为最长的棱长.由三视图可知，故，且四棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的.14.如图，已知抛物线：，则其准线方程为_；过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，若，则_.【答案】 (1). (2). 6【解析】【分析】根据抛物线的方程求得的值，由此求得准线方程.利用抛物线的定义求得点坐标，进而求
11、得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程求得点的坐标，进而求得.【详解】依题意抛物线的方程为，故，所以准线方程为.由于，根据抛物线的定义，代入抛物线方程，求得.所以直线的斜率为，方程为.代入抛物线方程并化简得，解得，根据抛物线的定义可知.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查过抛物线焦点的直线所得弦长问题，属于中档题.抛物线的焦点坐标和准线方程，与的值有关，过抛物线焦点的直线，常用的是利用抛物线的定义来解题.直线和抛物线联立，解方程组可求得交点的坐标.15.若函数在上单调递减，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由于函数在上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得
12、实数的值.【详解】依题意，在上恒成立，则需恒成立，有两个相等的实数根，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.16.过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据圆心到切线的距离等于半径求得，根据中位线求得且，利用等面积法求得点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，化简后求得的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，而，故.所以直线的斜率为，故直线的方程为
13、.由于是的中点，故是三角形的中位线，故且，由等面积法得，解得，代入直线的方程，求得，故.由于抛物线和双曲线焦点相同，故，所以抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程并化简得，即，解得，故双曲线的离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.17.已知矩形，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是_.【答案】【解析】【分析】过作直线，交于，交与，过作，交于.计算出的长，计算折叠后的长，计算出翻折过程中经过的角度，利用弧长公式计算出的运动轨迹的长度.【详解】过作直线，交于，交与，过作，交于.由于，故.
14、在翻折过程中，所以平面，所以.当时，即三角形为等边三角形，.当时，.所以翻折过程中点运动的圆弧对应的圆心角为，故弧长为.【点睛】本小题主要考查翻折问题，考查空间想象能力和动态分析能力，属于中档题.三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知平面上有两点，.（1）求过点的圆的切线方程；（2）若在圆上，求的最小值，及此时点的坐标.【答案】（1）和；（2）见解析【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，与圆相切，符合题意.当直线斜率存在是，设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线的斜率，由此求得切线方程.（2）用余弦定理求得的表达式，将问题转化为到原点距离的最小值来求解.【详解】（1）斜率不存在时：满足条件；斜率存在时，设直线：，即切线方程为和.（2）在中，由余弦定理可知：，则当最小时，取最小值所以，.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查余弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.如图，在三棱柱中，侧面为菱形.（1）求证：平面平面；（2）如果点分别为，的中点，求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解
