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1、学科素养培优系列(六) 统计与概率 类型一 古典概型与抽样方法的综合问题 【典例1】(14分)学校对高一,高二,高三三个不同年级 的某些学生进行抽样调查,从各年级抽出人数如表所示 .工作人员用分层抽样的方法从这些学生中共抽取6人 进行调查 (1)求这6位学生来自高一,高二,高三各年级的数量. (2)若从这6位学生中随机抽取2人再做进一步的调查, 求这2人来自同一年级的概率. 年级高一高二高三 数量50150100 【谋定思路而后动】 第一步:抽样比例“易破解” 第(1)问求出样本容量与总体中的个体数的比是 即可求这6位学生来自高一,高二,高三各年级的数量; 第二步:耐心枚举“数目清” 第(2)
2、问,利用枚举法列出从这6位学生中随机抽取2人 的不同结果,求出2人来自同一年级的情况数; 第三步:古典概型“代公式” 由古典概型概率计算公式得答案. 【规范解答不失分】 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 2分 所以样本中包含三个年级的个体数量分别是50 =1,150 =3,100 =2. 所以高一,高二,高三三个年级的学生被选取的人数分 别为1,3,2.6分 (2)设6位来自高一,高二,高三三个年级的学生分别为 A;B1,B2,B3;C1,C2. 则抽取的这2人构成的所有基本事件为: A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1, B3,B1,C1,B1,C2,B
3、2,B3,B2,C1,B2,C2,B3, C1,B3,C2,C1,C2,共15个.10分 每个人被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是 等可能的. 记事件D:“抽取的这2人来自相同年级”, 则事件D包含的基本事件有B1,B2,B1,B3,B2,B3, C1,C2,共4个. 所以P(D)= ,即这2人来自相同年级的概率为 . 14分 【阅卷教师点迷津】 【失分原因】 (1)抽样原理不清:如本题中分层抽样按比例抽取不理 解,抽样比计算错误. (2)枚举重复或遗漏:解答本题第(2)问,关键是将所有 基本事件数定准,易出现重复或遗漏而失分. 【答题规则】 1.写全步骤、步步为“赢” 解题时,要将解
4、题过程转化为得分点,对于是得分点的 解题步骤一定要写全.阅卷时,根据步骤评分,有则得分 ,无则不得分.如本例(1)中抽样比的计算及(2)中所有 基本事件和事件D包含的基本事件的列举等,如果不全, 就会失分. 2.正确区分有序和无序 古典概型的概率计算问题,关键是在列举基本事件时不 重不漏,此时会重点关注有序和无序的区别,如本例(2) 从6位学生中随机抽取2人属于无序问题. 【对应训练再提升】 某校高三文科600名学生参加了12月的模拟考试,学校 为了了解高三文科学生的数学、外语情况,利用随机数 表法从中抽取100名学生的成绩进行统计分析,将学生 编号为000,001,002,599. 世纪金榜
5、导学号97062302 (1)若从第6行第7列的数开始右读,请你依次写出最先 抽出的5人的编号(下面是摘自随机数表的第4行至第7 行). 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42
6、17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 (2)抽出的100名学生的数学、外语成绩如表: 外语 优良及格 数学优8m9 良9n11 及格8911 若数学成绩优秀率为35%,求m,n的值. (3)在外语成绩为良的学生中,已知m12,n10,求数 学成绩优比良的人数少的概率. 【解析】(1)根据图表数据第一个数为544,依次为354, 378,520,384. (2)由 =0.35,得m=18, 因为8+9+8+18+n+9+9+11+11=100,所以n=17. (3)由题意m+n=35,且m12,n
7、10,所以满足条件的 (m,n)有: (12,23),(13,22),(14,21),(15,20),(16,19),(17,18), (18,17),(19,16),(20,15),(21,14),(22,13),(23,12), (24,11),(25,10), 共有14种,且每组出现都是等可能的,记:“数学成绩优 秀的人数比良的人数少”为事件M,事件M包括:(12, 23),(13,22),(14,21),(15,20),(16,19),(17,18)共6 个基本事件,所以P(M)= 类型二 概率与统计的综合应用问题 【典例2】(14分)(2016全国卷)某公司计划购买1 台机器,该种机
8、器使用三年后即被淘汰.机器有一易损 零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件, 每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则 每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易 损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用 期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 ,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元 ),n表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n=19,求y与x的函数解析式. (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不 小于0.5,求n的最小值. (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19
9、个易 损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台 机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决 策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损 零件? 【谋定思路而后动】 第一步:分段求解“获思路” 第(1)问,分别求出x19及x19时的函数解析式,并用 分段函数形式表示出来. 第二步:识图联想“能突破” 第(2)问,分析柱状图,将更换的零件数不大于18的频率 及不大于19的频率与题意进行比较. 第三步:分别求解“比大小” 第(3)问,分别求出n=19,n=20时的平均数,进行比较,得 出结论. 【规范解答不失分】 (1)当x19时,y=3800;2分 当x19时,y=3
10、800+500(x-19)=500 x-5700,4分 所以y与x的函数解析式为 (xN). 6分 (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为 0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19. 8分 (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这 100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800, 20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机 器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (380070+ 430020+480010)=4000. 12分 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100 台机器中有90台在购买易损零件上的费用为400
11、0,10台 的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所 需费用的平均数为 (400090+450010)=4050. 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个 易损零件.14分 【阅卷教师点迷津】 【失分原因】 (1)题意不明:没有理解题意,不能按题意和条件做题, 对题中柱状图所提供的数字特征不能准确把握,将实际 问题转化成数学问题的能力欠缺,不能很好地利用条件 中的n=19作为分段函数的分界点,写出分段函数解析式 .理解问题、用数学知识分析问题和解决问题的能力还 不够. (2)概念不清:对统计样本中的中位数、平均数、众数 、频数的关系与作用分辨不清,解题思路不合题意,错
12、 误形式多种多样,列式和计算能力缺乏,对结果不能正 确分析和优化. (3)解题欠规范:考生没有认真分析所给条件n=19在统 计样本中的意义(n=19实际上是这组数据中的一个众数 ),不能依题意正确简便地写出函数解析式,对分段函数 的分段条件把握不清,没有写对分段条件,解题欠规范. 【答题规则】 1.写全解题步骤,步步为“赢”: 解题时,要将解题过程转化为得分点,对于是得分点的 解题步骤一定要写全,阅卷时根据步骤评分,有则得分, 无则不得分.如本题(1)中求解时要写成分段函数形式, 如果不全,就会失分. 2.熟练应用有关统计与概率的计算公式,准确运算: 有关公式的熟练应用及准确运算是得分的关键点
13、,本题 能正确应用公式计算,并能准确计算,正确写出相应步 骤即可得分. 【对应训练再提升】 空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI),是定量 描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为 六级,050为优;51100为良;101150为轻度污染 ;151200为中度污染;201300为重度污染;300为严 重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎 叶图如图. 世纪金榜导学号97062303 (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100) 的天数.(按这个月总共30天计算) (2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中, 随机地抽取两
14、天深入分析各种污染指标,求该两天的空 气质量等级恰好不同的概率. 【解析】(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的 天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量 优良的频率为 估计该月空气质量优良的频率为 ,从而估计该月空气质量优良的天数为30 =18. (2)该样本中轻度污染共2天,分别记为a1,a2;中度污染 1天,记为b;重度污染1天,记为c;从中随机抽取两天的 所有可能结果表示为:(a1,a2),(a1,b),(a1,c),(a2,b), (a2,c),(b,c)共6个,其中空气质量等级恰好不同的结 果有(a1,b),(a1,c),(a2,b),(a2,c),(b,c)共5个.所以 该两天的空气质量等级恰好不同的概率为 .
