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1、2020届重庆市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】利用一元二次不等式解出集合，利用补集的运算即可求出。【详解】由集合，解得：，故答案选C。【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。2若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】将z分离出来得到，然后分子分母同乘以，化简即可得到答案.【详解】，则复平面内对应的点位于第一象限.故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题.3等比数列中，、是函数的两个零点，则等于 AB3CD4【
2、答案】B【解析】分析：利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案.详解：是函数的两个零点，是方程0的两个根，由等比数列的性质可得.故选：B.点睛：本题考查等比数列的性质，是基础的计算题.4已知向量，若，则的值为（）A2BCD-2【答案】D【解析】由表示出与的基本关系，化简求解即可【详解】，答案选D【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表示法为：或5“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分别判断充分性和必要性，得到表示焦点在轴上的双曲线；表示双曲线，则，计算判断得到答
3、案.【详解】若，则，表示焦点在轴上的双曲线，充分性；若表示双曲线，则，必要性.故选：【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.6过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）ABC或D或【答案】D【解析】设直线方程为，计算截距得到，计算得到答案.【详解】易知斜率不存在时不满足；设直线方程为，则截距和为：解得或 故直线方程为：和故选：【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.7已知，则（）ABCD【答案】A【解析】由已知中f（x1）=x2+4x5，我们利用凑配法可以求出f（x）的解析式，进而再由代入法可以求出f（x+1）的解析式。【详解】解：，故选A【考点】用
4、凑配方和代入法求函数的解析式。【点睛】把用表示出来，是解决本题的关键。8定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据对称性和奇函数得到函数是周期为8的周期函数，得到，计算得到答案.【详解】的图象关于直线对称，则即为奇函数，则则得到所以，函数周期为8故选：【点睛】本题考查了函数值的计算，通过运算得到函数的周期是解题的关键.9如图，正三棱柱中，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（ ） ABCD【答案】C【解析】记分别为直线的中点，取中点，连结，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，所以在正三棱柱中，平面；又
5、是的中点，所以,所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，所以.故选C.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.10已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的最大值为( )AB7CD8【答案】B【解析】由 ，利用，求得，恒成立，等价于恒成立，令，利用单调性求出的最小值，进而可得结果.【详解】 ，且，故，整理即，又均为正实数，故，又对于任意满足的正实数，均有恒成立，整理可得恒成立，令，令，时所以在上递增，因此，实数的最大值为7，故选B.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立
6、问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立.11已知的三个内角所对的边分别为，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（ ）ABCD【答案】B【解析】化简得到，根据正弦定理得到，根据余弦定理得到，再计算得到答案.【详解】的外接圆的面积为则，根据正弦定理： 根据余弦定理：故为最长边： 故选：【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.12设函数在上最小的零点为，曲线在点处的切线上有一点，曲线上有一点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由导数的几何意义可得：曲线在点处的切线的方程为，
7、由导数的应用可得：当的坐标为时，点到切线的距离为的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】解:令，。则，即，则的最小值为1，即=1，又，所以，又，所以曲线在点处的切线的方程为，由，则，令，解得，此时，即当的坐标为时，点到直线的距离为的最小值，由点到直线的距离公式可得：=， 故选D.【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.二、填空题13_.【答案】【解析】直接利用和差公式的逆运算得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了是三角恒等变换，属于简单题.14已知.若数列是递增数列，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】数列是递增数列，则是
8、单调递增的一次函数型的数列，建立不等式关系进行求解即可。【详解】，解得。故答案为：。【点睛】本题主要考查数列单调的性质的应用，根据数列单调性建立不等式关系是解决本题的关键。15在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为_.【答案】【解析】先计算球的半径为，确定球心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.【详解】球的表面积为如图所示：为中点，连接 ，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.在中：，故；在中：，故，故 故答案为：【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.16已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于
9、，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_.【答案】【解析】先证明是正三角形，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为，从而可得结果.【详解】由题意，得，另一个焦点，由对称性知，又因为线段的垂直平分线经过点，则，可得是正三角形，如图所示，连接，则，由图象的对称性可知，又因为是等腰三角形，则，在中，由余弦定理：，上式可化为，整理得：，即，由于，则，故，故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的
10、关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.三、解答题17已知函数.（1）求的对称轴；（2）当时，若，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）化简得到，计算得到答案.（2）根据得到，根据范围得到或计算得到答案.【详解】（1）的对称轴满足：（2）故所以或解得：或【点睛】本题考查了三角函数的对称轴和根据函数值求角度，意在考查学生的计算能力.18已知数列中，（1）求的通项公式；（2）设，求的前项和；【答案】（1），（2）【解析】（1）根据递推公式
11、构造等比数列求通项公式；（2）利用错位相减法对数列求和.【详解】（1）因为，所以，则数列是首项为公比为2的等比数列，则：即；（2），记的前项和为，则：，则，两式相减：.则的前项和为：.【点睛】（1）形如的递推公式，可采用构造等比数列的方法求解数列通项公式；（2）错位相减法一般适用于：等差乘以等比形式的数列求和.19如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.（1）设棱的中点为，证明：平面；（2）若，且平面平面，求三棱柱的高.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，证明出平面平面，然后利用平面与平面平行的性质可得出平面；（2）将三棱柱的高转化成三棱锥的高来计算，过点作交于点，可得出平面，计
12、算出的长度，然后利用等体积法由计算出三棱锥的高.【详解】（1）连接，在三棱柱中，是的中点，是的中点，四边形是平行四边形，平面，平面，平面.、分别是、的中点，又平面，平面，平面，、平面，平面平面.平面，平面；（2）三棱柱的高转化成三棱锥的高，设为，过点作交于点，因为平面平面，平面平面，又因为，平面，所以平面，在中，.又因为，.所以，所以，解得.因此，三棱柱的高为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了三棱柱高的计算，一般转化为三棱锥的高，利用等体积法来进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20已知点和直线，直线过直线上的动点且与直线垂直，线段的垂直平分线与直线相交于点（I）求
13、点的轨迹的方程；（II）设直线与轨迹相交于另一点，与直线相交于点，求的最小值【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据垂直平分线性质可知，由抛物线定义可得到所求轨迹方程；（II）由题意可知，直线斜率存在，且斜率不为零，设，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，利用坐标运算表示出，代入韦达定理，结合基本不等式求得最小值.【详解】（I）连接为线段的垂直平分线 即点到定点的距离等于点到定直线的距离由抛物线的定义可知，点的轨迹为：（II）由题意可知，直线斜率存在，且斜率不为零设，直线，将直线方程代入抛物线方程可得：则 又 ，当且仅当，即时取等号【点睛】本题考查轨迹方程的求解、抛物线中的最值问题的求解，本题中轨迹求解的关键是能够根据动点满足的条件确认满足抛物线定义，从而得到抛物线方程；解决最值问题的关键是能够利用韦达定理表示出所求量，通过基本不等式求得结果.21已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析（2）【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的解析式分类讨论即可确定函数的单调区间；(2)原问题等价于在上恒成立，据此设出导函数的零点，结合导函数的性质讨论函数的最值，得到关于b的不等式即可确定其取值范围.【详解】（1）的定义域是，时，在上单调递增：时，解得，当时，则在上递减；当时，则在上递增（2
