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1、- 1 - 1981 年年2019 年全国高中数学联赛二试试题分类汇编年全国高中数学联赛二试试题分类汇编 平面几何部分平面几何部分 2019A2019A 一、一、 （本题满分（本题满分 4040 分）分）如图，在锐角中，是边的中点点在ABCMBCP 内，使得平分直线与,的外接圆分别相交于不同于ABCAPBACMPABPACP 点的两点P,D E 证明：若，则DEMP2BCBP 证明：证明：延长到点，使得.连接 PMFMFME,BF BD CE 由条件可知 10 分 BDPBAPCAPCEPCEM 因为且，所以且 BMCMEMFMBFCE/ /BFCE 于是，进而 20 分 FCEMBDP BD
2、BF 又，故 DEMPDPEMFM 于是在等腰中，由对称性得从BDFBPBM 而40 分22BCBMBP 2019B2019B三、三、 （本题满分（本题满分 5050 分）分） 如图，点在一条直线上顺次排列，满足，A,B,C,D,EBCCDABDE 点在该直线外，满足点分别在线段上，满足PPBPD,K L,PB PD 平分，平分. KCBKELCALD 证明：四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）（答题时请将图画在答卷纸上）, ,A K L E 证明：证明：令，（），由条件知 1AB BCCDt0t 2 DEt 注意到，可在延长线上取一点 0 180BKEABKPDEDEK CB A ，使得 1
3、0 分 A KEABKA BK 此时有，故 20 分 A BKA KE: A BA KBK A KA EKE 又平分，故于是有KCBKE 2 1 1 BKBCt KECEttt - 2 - 30 分 2 2 1 21 A BA BA KBKAB A EA KA EKEttAE 由上式两端减 1，得，从而与重合 BEBE A EAE A A 因此 AKEA KEABK 同理可得而，所以ALEEDL ABKEDL AKEALE 因此四点共圆 50, ,A K L E 2018A 二、二、 （本题满分 40 分） 如图所示， 为锐角三角形，为边的中点，点和分别为ABCACAB MBCDE 的外接圆弧
4、和的中点，为内切圆在边上的切点，为与ABCBACBCFABCABGAE 的交点，在线段上，满足.BCNEFABNB 证明：若,则。 （答题时请将图画在答卷纸上）EMBN FGDF 证明：证明：由条件知，为外接圆的直径，于，。记为DEABCBCDE MADAE I 的内心，则在上，。由可知，ABCIAEABIF ABNB MEIADEADEABNABENBE 000 9090)180( 又根据内心性质，有EIBABIEABABIEACCBIEBCEBI 从而。结合，所以，EIBE EMBN MEINBE 于是，故四点共圆。EFIBFEBNEEMI 00 18090MIFE, 进而可知,故四点共圆
5、。AGMIEMIFMAFM 00 9090MGFA, 再由知，四点共圆，所以五点共圆，从 0 90DMGDAGDMGA,DMGFA, 而，即。 0 90DAGDFGFGDF 2018B 二、二、 （本题满分 40 分）如图所示， 在等腰中，边上一点ABCACAB AC 及延长线上一点满足，以为直径的圆与线段交于一点。DBCE CE BC DC AD 2 ABDEF 证明：四点共圆。 （答题时请将图画在答卷纸上）DFCB, - 3 - 证明证明:取中点，则由知，故在圆上.延长至，使得BCHACAB BCAH HFDG ，结合已知条件得，故，BCAG/ CE BC DC AD CE AG 2 CH
6、BHBCAG 2 1 从而为矩形，为平行四边形。AGBHAGHC 由为矩形知，在圆上，故,AGBHGHBFHGF 又为平行四边形，由，得,AGHCGHAC /HGFCDF 所以，所以四点共圆。CDFHBFCBFDFCB, 2017A 一、一、 （本题满分 40 分）如图所示，在中，为的内心，以ABCACAB IABC 为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与、AAB 1 IIB 2 IB, 3 1 分别交于点、（不同于点） 。设与交于点。证明：（答题时请 2 PQBIPBQRCRBR 将图画在答卷纸上） 证明：证明：连接，由于点点在圆上，PCPBIQICIB,Q 2 故，所以。IQ
7、IB IQBIBQ 又四点共圆，所以，于是，QPIB,IQBIPBIPBIBQ 故，从而，且,IBPIRBIBPIRB IB IP IR IB 又，且为的内心，故，所以ACAB IABCICIB IC IP IR IC 所以，则ICPIRCICPIRC 又点在圆的弧上，故，P 1 BCABPC 2 1 1800 因此，ICPIBPIRCIRBBRC BPCBIC 0 360 ，即 0000 90 2 1 180 2 1 90360 AACRBR 2017B 三、三、 （本题满分 50 分）如图，点是锐角的外接圆上弧的中点，直线DABCBC 与圆过点的切线分别相交于点,与的交点为，与的交点DAC
8、B,QP,BQACXCPAB 为，与的交点为求证：平分线段 （答题时请将图画在答卷纸上） YBQCPTATXY 证明：证明：首先证明，即证/YXBC AXAY XCYB - 4 - 连接，因为，,BD CD ACQACQ ABC ABCABPABP SS S SSS 所以， 111 sinsinsin 222 111 sinsinsin 222 AC CQACQACBCACBACAQCAQ AB BCABCAB BPABPABAPBAP 由题设，是圆的切线，所以，又,BP CQACQABC ACBABP （注意是弧的中点） ，于是由知CAQDBCDCBBAP DBC ABAQCQ ACAPBP
9、 因为，所以，CAQBAP BAQCAP 于是 1 sin 2 1 sin 2 ABQ ACP ABAQBAQ S ABAQ SACAP ACAPCAP 而 1 sin 2 1 sin 2 BCQ BCP BC CQBCQ S CQ SBP BCBPCBP 由，得 ，即 ABQCBQ ACPBCP SS SS ABQ ACP CBQBCP S S SS 又，故 ABQ CBQ S AX SXC ACP BCP SAY SYB AXAY XCYB 设边的中点为，因为，BCM1 AXCMBY XCMBYA 所以由塞瓦定理知，三线共点，交点即为，故由可得平分线,AM BX CYT/YXBCAT 段X
10、Y 2016A 二、二、 （本题满分 40 分）如图所示，在中，是直线上两点ABCYX,BC （顺序排列） ，使得,设，的外心分别为,YCBX,ABCYACBXACXABY 1 O ，直线与，分别交于点.证明：是等腰三角形。 2 O 1 O 2 OABACVU,AUV 证明：证明：作的内角平分线交于点.设BACBCPACX ，的外接圆分别为和，由角平分线定理知，ABY 1 2 AC AB CP BP 又条件可得, AC AB CY BX - 5 - 从而，即， CP BP AC AB CPCY BPBX PY PX PYBPPXCP 故对圆和的幂相等，所以在圆和的根轴上。P 1 2 P 1 2
11、 于是，这表明点关于直线对称， 21O OAP VU,AP 从而是等腰三角形。AUV 2015A 三、三、 （本题满分 50 分）如图所示，内接于圆，ABCO 为弧上一点，点在线段AP上，使得BK平分.PBCKABC 过三点的圆与边交于点，连接交圆于CPK,ACDBD 点，连接并延长与边交于点，EPEABF 证明：。FCBABC2 证明：证明： 证法一证法一：设 CF 与圆 Q 交于点 L（异于 C)，连接 PB、PC、 BL、KL注意此时 C、D、L、K、E、P 六点均在圆上， 结合 A、 B、P、C 四点共圆， 可知FEB=DEP=180DCP=ABP=FBP， 因此FBEFPB，故 FB
12、2=FEFP10 分 又由圆幂定理知，FEFP= FLFC， 所以 FB2=FLFC 从而FBLFCB 因此, FLB=FBC=APC=KPC=FLK, 即 B、K、L 三点共线 30 分 再根据FBLFCB 得， FCB=FBL=ABC, 即ABC=2FCB 1 2 证法二：证法二：设 CF 与圆交于点 L（异于 C)对圆内接广义六边 形 DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与 KP 的交点 A、CL 与 PE 的交点 F、LK 与 ED 的交点了共线，因此 B是 AF 与 ED 的交点，即 B=B所以 B、K、L 共线10 分 根据 A、B、P、C 四点共圆及 L、K、P、C 四点共
13、圆，得 ABC=APC=FLK=FCB+LBC, 又由 BK 平分ABC 知，FBL=ABC，从而 1 2 ABC=2FCB 2015B 二、二、 （本题满分 40 分）如图，在等腰中，设为其内心，设为ABCACAB ID 内的一个点，满足四点共圆，过点作的平行线，与的延长线交ABCDCBI,CBDAD 于求证：ECEBDCD 2 证明：证明： 连接 BI,CI设 I, B , C, D 四点在圆 O 上，延长 DE 交圆 O 于 F，连接 FB，FC 因为 BD|CE，所以DCE=180-BDC=BFC 又由于CDE=CDF=CBF， - 6 - 所以BFCDCE，从而 DCBF CEFC
14、再证明 AB, AC 与圆 O 相切事实上， 因为ABI=ABC=ACB=ICB， 1 2 1 2 所以 AB 与圆 O 相切 同理 AC 与圆 O 相切 20 分 因此有ABDAFB，ACDAFC，故 , BDABACDC BFAFAFCF 即 30 分 BFBD FCDC 结合、，得， DCBD CEDC 即 40 分 2 CDBD CE 2016B 三、三、 （本题满分 50 分）如图所示， 是平行四边形，是的重心，点ABCDGABD 在直线上，使得,证明：平分QP,BDPCGP QCGQ AGPAQ 证明：证明：连接，与交于点由平行四边形ACBD.M 的性质，点是的中点因此，M,AC BD 点在线段上由于，GAC90
