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1、第5章 厚壁圆筒的分析 第5章 厚壁圆筒的分析 厚壁圆筒的弹性分析 厚壁圆筒的弹塑性分析 组合厚壁圆筒的分析* 厚壁圆筒的残余应力* 强化材料的厚壁圆筒 厚壁圆简自紧分析简介* 厚壁圆球的分析* 51 厚壁圆筒的弹性分析 计算模型 厚壁圆筒内半径a ，外半径b，取单 位厚度。受内压p1 ，外压p2。 厚壁圆筒问题属 平面轴对称问题 ，可按第4章结果 根据边界条件得 到解答。 p1p2 a b 应力边界条件 内边界 外边界 应力分量 因为 自然满足，所 以，联立 求解，得 代回应力解表达式，得应力解答（Lam解 ）。 拉梅（Lam）解答 Lam解的另一种表达式： 位移分量 位移边界条件 位移解答
2、 ？如果 是平面 应变问 题？ 几种特殊情况 p1 只承受内压，p1 0，p2 = 0 p2 只承受外压，p1 = 0，p2 0 验证圣维南原理，在 r a 处，应力很小，可 以不计。即在内压p1 作 用下，b 处影响可 不计。 无限域承压孔，p1 0，p2 = 0，b p1 r 无限域内无内压孔，p1 = 0，p2 0，b （孔边应力集中问题） 当r = a时，r = 0， = 2p2。 这说明，在外部均匀压力作用下，无限域 开孔后，孔周边应力集中系数为2。 如果外部压力不均匀，集中系数该如何？ 【例】曲梁纯弯曲问题的弹性力学 解答 x 0 a b M 曲梁区域由两对圆弧坐标线和两条径线围成
3、， 设厚度为单位1。 由于是纯弯曲，各截面M 相同，因而应力分量 与 无关，为轴对称问题。 【解】应力分量 其中A、B、C为常数，须由边界条件确定。 其边界条件： 内边界 外边界 主（长）边界： 上边界次（短）边界： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 下边界 （8） （9） （10） 其中（2）、（4）、（7）、（10）自动满足。 由（1）、（2），有 由（5）或（8），有 (a) (b) (c) 由（6）或（9），有 (d) 从上式可见，(a)、(b)满足，(c)必满足。联立 (a)、(b)、(d)求解，得 应力分量表达式 讨论：位移分量的确定，须给出位移约束条件。 设
4、 则有 内力及约束反力 N = 0, Q = 0 由本例可见，各应力、位移、内力分量中 均不含多值函数项（ 项）。 r0为曲 梁中轴 线半径 52 厚壁圆筒的弹塑性分析 屈服条件在轴对称平面应变条件下， 并假设泊松比 = 0.5，Tresca屈服条件与 Mises屈服条件只相差一个系数，即， Tresca屈服条件中s的系数为1，而Mises 屈服条件中s的系数为 。两个屈服 条件中都是应力偏量起控制作用，而应力 偏量代表剪应力。可以采用其中一个屈服 条件求得解答，可以将此解答中的屈服极 限s乘以相应的系数，得到相应的解答。 弹塑性应力分析 承受内压 p 的厚壁圆筒 厚壁圆筒弹塑性分析模型 （a
5、）边界条件与弹塑性分界；（b）弹性区；（c）塑性区 弹性极限荷载 筒内弹性应力分量 按Tresca屈服条件，内壁开始屈服时的弹 性极限荷载 pe 为 弹塑性荷载 当内压 p pe 时，厚壁圆筒内分为塑性区和弹性 区，二者界限为r = rp的圆。 塑性区的应力分量 弹性区的应力分量 弹性区与塑性区交界处的弹性径向应力 弹性区与塑性区交界处的塑性径向应力 因应力连续，上二者相等，则弹塑性极限 荷载 pp 为 塑性极限荷载 当rp = b时，整个截面全部进入塑性状态，厚壁 圆筒达到塑性极限状态，此时的荷载即为塑性极 限荷载pl。 应力分量 采用 Mises条件 三种极限状态下的应力分布 （a）弹性极
6、限状态；（b）弹塑性极限状态；（c）塑性极 限状态 弹塑性状态下的位移 弹性区位移（rp r b） 塑性区位移（a r rp） 其中，rp为未知。 ( ( = 0.5)= 0.5) 位移与内压的关系 弹性状态弹性状态弹塑性状态弹塑性状态塑性状态塑性状态 轴对称平面应变厚壁圆筒问题讨 论 取不同值时，对弹性极限位移ue影响不大，一 般小于4%；对塑性极限位移ul影响较大，可达 18.5%。 使用Mises屈服条件所得塑性极限荷载比用 Tresca屈服条件的结果大15.5%。将按Tresca屈 服条件求解所得结果中s的系数由1改为 ， 则可得到满足Mises屈服条件的相应结果。 不同端面条件对弹性极限荷载的影响不大。 随着内压的增加，变形增大，塑性极限荷载下 降。考虑变形的影响，理想弹塑性结构承载不 稳定。 55 幂强化材料的厚壁圆筒 假设：承受内压 p，平面应变，体积不可 压缩（ = 0.5）。 应力应变关系 一维应力状态 三维应力状态 其中，0 n 1，i = - r，A为材料参数。 本条件无屈服条件，无弹性极限，无塑性 极限。可按限定位移值确定条件极限压力 。 应力分量 位移分量 应力分布 （a） （b） （a）幂强化模型；（b）应力分布
