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1、数学学院 信息与计算科学系 第四节 割线法 1、简化牛顿迭代法 此式称为简化牛顿迭代公式。 只要 M 选择得当，上式总是线性收敛的。 在牛顿迭代公式中用一常数 M 代替 得 数学学院 信息与计算科学系 用常数 M 来代替 f ( xk )虽然简单，但没充分 利用 f (x)本身的特性，因此收敛较慢。 若在牛顿迭代公式中改用差商 代替导数 f (xk) ，得迭代公式 2、割线（弦截）法 数学学院 信息与计算科学系 每步用两个点，此格式为双点割线法或记忆割线法。 可以证明它的收敛阶为 确实比式 收敛快。 数学学院 信息与计算科学系 将式 每步只用一新点，此格式为单点割线法。 两种方法都需要两个初始
2、值才能启动。 中的 xk-1 改为 x0，即 数学学院 信息与计算科学系 3、割线法的几何意义 双点割线法是用过点 和 两 点的割线与 x 轴交点的横坐标 作为 的新近 似值。重复此过程，用过点 和 的两点的割线与x 轴交点的横坐标 来作为 的下一新的近似值。 如图表2-5 数学学院 信息与计算科学系 图2-5图2-6 单点迭代法则是用过点 和 的两点的割线与x 轴交点的横坐标 来作为 的近似值，如图2-6。 数学学院 信息与计算科学系 4、割线法收敛的速度 定理 这说明它是超线性收敛的( p =1.6181 ) 。而 单点割线法在单根附近是线性收敛的。 设 的根为 。若 在 附近 有连续的二阶导数， ，而初值 充分接近 ，则双点割线法的迭代 过程收敛，收敛速度为 数学学院 信息与计算科学系 用牛顿迭代法和割线法求方程 f (x) = x4 + 2x2 x 3 = 0 在区间（1 , 1.5）内之根（误差为 10-9）。 取x0 =1.5, 用牛顿法, 可得 x6=1.12412303030； 而采用单点割线法，则迭代18 次得 x18=1.124123029. 例 3 解 取 x0 =1.5, x1=1, 用双点割线法,迭代6 次得到同样 的结果，
