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1、 二十七章相似 相似三角形 回顾与反思 判定两个三角形相似的方法: 5. 两角对应相等的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 1.定义:三角对应相等,三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 回顾与反思 相似三角形的性质: 1.相似三角形对应角相等,对应边成比例。 2 .相似三角形对应高线比,对应中线比,对应角平分线 比等于相似比。 3.相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似 比的平方。 练一练 基本图形1 DE MN H 过D作DHEC交
2、BC延长线于点H (1)试找出图中的相似三角形? (2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_; 若ABC的周长为4,则BDH的周长为_. 若ABC的面积为4,则BDH的面积为_. ADE ABC DBH 2:3 6 9 DE MN 平行法 相似三角形 若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 添平行线构造相似三角形的基本图形。 E G F E G F M N 基本图形2 “A”字型 当ADE C 时, ADE ACB. B C F A 基本图形2 添加一个条件使得ACF ABC.BCF BAC. B C F A (1) 若BC=6,AF=5,你能求出B
3、F的长吗? 当BCF A 时, BCF BAC. .O (2) BC是圆O的切线,切点为C. (3) 移动点A,使AC成为O的直径,你还能 得到哪些结论? F B C A .O F B C A 则ACF ABC CBF 基本图形2 BF=4BF=4 结论:1、ACF ABC CBF 2、CD=ADBD BC=BDAB AC=ADAB B C A x y (-3,0)(1,0) tanABC= (1)请在x轴上找一点D,使得BDA与BAC相似 (不包含全等),并求出点D的坐标; (2)在(1)的条件下,如果P、Q分别是BA、BD上 的动点,连结PQ,设BPDQm, 问:是否存在这样的m,使得BP
4、Q与BDA相似? 如存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由。 用一用 O D (1)BDABAC CADABC tanCADABC= BC=4 AC=BCtan ABC=3 CD=ACtan CAD=3 = OD=OC+CD=1+ = D( ,0) 用一用 P Q P Q (1)当PQAD时,BPQ BAD 则 即: 解得: (2)当PQBD时,BPQ BDA 则 即: 解得: B C A x y (-3,0)(1,0) tanABC= O D 有公共角有公共角B,B, “A”型相似 相似的基本图形 A B C D E (1) DEBC A BC D E DEBC (2) A B C D E
5、 (3) A B CD (4) BAD=C AB2=BDBC A B C D ACB=90, CDAB (5) A B C D E (6) D=C 小结:相似三角形中的基本图形 A B C D A B C D E A B C D A O D C B A BC DE A C O DB A B CE F 如图,在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 (与B、C不重合)AEF=90.观察图形: D A B CE F D (2)若E为BC的中点,连结AF,图中有哪些相似 三角形? (1) ABE 与ECF 是否相似?并证明你的结论。 ABE ECF AEF 问题: (1)点E为BC上任意一点 ,若 B
6、= C=60, AEF= C,则ABE与 ECF的关系还成立吗? 说明理由 (2)点E为BC上任意一点 若 B= C= , AEF= C,则ABE 与 ECF 的关系还成立吗? C 60 60 60 A BE F A BCE F A B F C E 60 60 60 C A B E F ABE ECF 变式:.直角梯形ABCF中,B90,CB=14, CF=4, AB=6, CFAB,在边CB上找一点E,使以 E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点 的三角形相似,则CE=_ 1.矩形ABCD中,把DA沿AF对折,使D与 CB边上的点E重合,若AD=10, AB= 8, 则EF=_ 善于在
7、复杂图形 中寻找基本型 5 A D B C E F A B C F E EE 5.6或2或12 注意分类讨论的 数学思想 E B C D F 2.已知:D为BC上一点, B= C= EDF=60, BE=6 , CD=3 , CF=4 , 则AF=_ 7 A 如图,已知抛物线与x轴交于A、B 两点,与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,3) (1)求此抛物线的解析式; (2)抛物线上有一点P,满足 PBC=90,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,问在y轴 上是否存在点E,使得以A、O、E 为顶点的三角形与PBC相似?若 存在,求出点E的坐标;若不存在, 请说明理由. A B P C O
8、x y X=4 2 3 Q 6 构造相似图形间接求已知相似图形直接求 相似基本图形 的运用 方程思想 分类思想 学会从复杂图形中分解出基本图形 整体思想 转化思想 例1如图,梯形ABCD中,ADBC, ABC=90,AD=9,BC=12,AB=10, 在线段BC上任取一点P,作射线 PEPD,与线段AB交于点E. (1)试确定CP=3时点E的位置; 过D作DHBC于H, 由题意,得CH=3, 又CP=3 P与H重合, 从而E与B重合 (2)若设CP=x,BE=y,试写出y关 于自变量x的函数关系式,并求出自 变量x的取值范围. 友情提醒:要善于构造基本图形,对你 的解题会起到事半功倍的效果! BC AD E PH