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1、4.2 一元二次方程根的判别式 知识回顾知识回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么? 一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0),当b2-4ac0时,它的根是 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么? 用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式, 进而确定a、b、c的值,再求出b2-4ac的值, 当b2-4ac0的前提下,再代入公式求解; 当b2-4ac0时,方程无实数解(根) 知识回顾知识回顾 3.用公式法解下列方程: x2x1 = 0 x22 2x22x1 = 0 x3 = 0 观察上面解一元二次方程的过程,一元二次 方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、 一次项系数
2、及常数项有关吗?能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢? 尝试尝试: 不解方程,你能判断下列方程根的情况吗? x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x =3 (3)没有实数根 答案:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; 你能得出什么结论? 可以发现b24ac的符号决定着方程的解。 PPT模板: PPT 素材: PPT背景: PPT 图表: PPT下载: PPT 教程: 资料下载: 范文下载: 试卷下载: 教案下载: PPT论坛: PPT课件: 语文课件: 数学课件: 英语课件: 美术课件: 科学课件: 物理课件: 化学课件: 生物课件: 地理课件: 历史课件:
3、 概括总结概括总结 由此可以发现一元二次方程ax2bxc = 0 (a0)的根的情况可由b24ac来判定 当b24ac0时,方程有两个不相等的实数根 当b24ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b24ac0时,方程没有实数根 我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc = 0 (a0)的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况,是否能得到 判别式的值的符号呢? 当一元二次方程有两个不相等的实数根时,b24ac0 当一元二次方程有两个相等的实数根时,b24ac = 0 当一元二次方程没有实数根时,b24ac 0 概念巩固概念巩固 1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= , 所以
4、方程的根的情况是 . 2.下列方程中,没有实数根的方程是( ) A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 -8 方程无实数根 D 3.方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根,那么总成立的式 子是( ) A.b2-4ac0 B. b2-4ac0 C. b2-4ac0 D. b2-4ac0 D 典型例题典型例题 例1不解方程,判断下列方程根的情况: (1)-x2+ x-6=0 (2)x2+4x=2 (3)4x2+1=-3x (4)x2-2mx+4(m-1)=0 解(1)b2-4ac=24-4(-1)(-6)=0 该方程有两个相等的实数根 (2) 移
5、项,得x2+4x-2=0 b2-4ac=16-41(-2)=16-(-8) =16+8=240 该方程有两个不相等的实数根 典型例题典型例题 例1不解方程,判断下列方程根的情况: (3)4x2+1=-3x (4)x2-2mx+4(m-1)=0 解(3)移项,得4x2+3x+1=0 b2-4ac=9-441=9-16=-70 该方程没有实数根 (4)b2-4ac=(2m)2-414(m-1) =4m2-16(m-1) =4m2-16m+16 =(2m-4)20 该方程有两个实数根 典型例题典型例题 例2 :m为任意实数,试说明关于x的方程 x2-(m-1)x-3(m+3)=0恒有两个不相等 的实
6、数根。 解: 不论m取任何实数,总有(m+5)20 b2-4ac=(m+5)2+12120 不论m取任何实数,上述方程总有两个不相等的实数根 典型例题典型例题 例3:m为何值时,关于x的一元二次方程 (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根? 解:a=2,b=-(4m+1),c=2m2-1 b2-4ac=-(4m+1)2-42(2m2-1)=8m+9 (1)若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac0,即8m+90 m (2)若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0即8m+9=0 m= (3)若方程没有实数根,则b2-4ac0即8m+90 m 当m 时,方
7、程有两个不相等的实数根;当m= 时, 方程有两个相等的实数根;当m 时,方程没有实数根 练一练练一练 例4:已知关于x的一元二次方程kx2(2k1)xk 3 = 0有两个不相等的实数 根,求k的取值范围。 解:方程有两个不相等的实数根 即k (2k+1)2-4k(k+3)0 4k2+4k+1-4k2-12k0 -8k+10 你认为这样做对吗?为什么? 练一练练一练 1.不解方程,判断方程根的情况: (1)x2+3x-1=0; (2)x2-6x+9=0; (3)2y2-3y+4=0 (4)x2+5= x 练一练练一练 2.k取什么值时,方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根?求这时方程的根。 3.已知a、b、c分别是三角形的三边,则关于x的一 元二次方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况 是( ) A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。 归纳总结归纳总结 一元二次方程的根的情况与系数的关系? b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根 的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程 的根的情况;反过来由方程的根的情况也可以得知b2 -4ac的符号,进而得出方程中未知字母的取值 情况。