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1、4.2 一元二次方程根的判别式 知识回顾知识回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0），当b2-4ac0时，它的根是 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式， 进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值， 当b2-4ac0的前提下，再代入公式求解； 当b2-4ac0时，方程无实数解(根) 知识回顾知识回顾 3.用公式法解下列方程： x2x1 = 0 x22 2x22x1 = 0 x3 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次 方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、 一次项系数
2、及常数项有关吗？能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢？ 尝试尝试： 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x =3 （3）没有实数根 答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； 你能得出什么结论？ 可以发现b24ac的符号决定着方程的解。 PPT模板： PPT 素材： PPT背景： PPT 图表： PPT下载： PPT 教程： 资料下载： 范文下载： 试卷下载： 教案下载： PPT论坛： PPT课件： 语文课件： 数学课件： 英语课件： 美术课件： 科学课件： 物理课件： 化学课件： 生物课件： 地理课件： 历史课件：
3、 概括总结概括总结 由此可以发现一元二次方程ax2bxc = 0 （a0）的根的情况可由b24ac来判定 当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根 当b24ac0时，方程没有实数根 我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc = 0 （a0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b24ac0 当一元二次方程有两个相等的实数根时，b24ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b24ac 0 概念巩固概念巩固 1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ， 所以
4、方程的根的情况是 . 2.下列方程中，没有实数根的方程是（ ） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 -8 方程无实数根 D 3.方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根，那么总成立的式 子是（ ） A.b2-4ac0 B. b2-4ac0 C. b2-4ac0 D. b2-4ac0 D 典型例题典型例题 例1不解方程，判断下列方程根的情况： （1）-x2+ x-6=0 （2）x2+4x=2 （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（1）b2-4ac=24-4（-1）（-6）=0 该方程有两个相等的实数根 （2） 移
5、项，得x2+4x-2=0 b2-4ac=16-41（-2）=16-（-8） =16+8=240 该方程有两个不相等的实数根 典型例题典型例题 例1不解方程，判断下列方程根的情况： （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（3）移项，得4x2+3x+1=0 b2-4ac=9-441=9-16=-70 该方程没有实数根 （4）b2-4ac=（2m）2-414（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）20 该方程有两个实数根 典型例题典型例题 例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 的实
6、数根。 解： 不论m取任何实数，总有（m+5）20 b2-4ac=（m+5）2+12120 不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根 典型例题典型例题 例3：m为何值时，关于x的一元二次方程 （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 b2-4ac=-（4m+1）2-42（2m2-1）=8m+9 （1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac0，即8m+90 m （2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 m= （3）若方程没有实数根，则b2-4ac0即8m+90 m 当m 时，方
7、程有两个不相等的实数根；当m= 时， 方程有两个相等的实数根；当m 时，方程没有实数根 练一练练一练 例4：已知关于x的一元二次方程kx2（2k1）xk 3 = 0有两个不相等的实数 根，求k的取值范围。 解：方程有两个不相等的实数根 即k （2k+1）2-4k（k+3）0 4k2+4k+1-4k2-12k0 -8k+10 你认为这样做对吗？为什么？ 练一练练一练 1.不解方程，判断方程根的情况： (1)x2+3x-1=0; (2)x2-6x+9=0; (3)2y2-3y+4=0 (4)x2+5= x 练一练练一练 2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根？求这时方程的根。 3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一 元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况 是（ ） A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。 归纳总结归纳总结 一元二次方程的根的情况与系数的关系？ b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根 的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程 的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2 -4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值 情况。
