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1、量子力学习题第一章绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长lm与温度T成反比，即lmT=b(常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 1.4 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子MB=910-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔DE，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。 1.5
2、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章波函数和薛定谔方程 2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) y1=eikr/r, (2) y2=e-ikr/r.从所得结果说明y1表示向外传播的球面波，y2表示向内（即向原点）传播的球面波。 2.2 一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 2.4 一粒子在一维势阱中运动，求束缚态(0EU0)的能级所满足的方程。 2.5 对于一维无限深势阱(0xa)中的定态yn(x)，求、和Dx，并与经典力学结果比较。 2.
3、6 粒子在势场中运动，求存在束缚态(E0)的条件(，m，a，V0关系)以及能级方程。 2.7 求二维各向同性谐振子V=k(x2+y2)的能级，并讨论各能级的简并度。 2.8 粒子束以动能E=从左方入射，遇势垒求反射系数、透射系数。EV0情形分别讨论。 2.9 质量为m的粒子只能沿圆环（半径R）运动，能量算符，j为旋转角。求能级(En)及归一化本征波函数yn(j)，讨论各能级的简并度。第三章基本原理 3.1 一维谐振子处在基态，求： (1) 势能的平均值； (2) 动能的平均值； (3) 动量的几率分布函数。 3.2 设t=0时，粒子的状态为y(x)=Asin2kx+coskx，求此时粒子的平均
4、动量和平均动能。 3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数y(x)=Ax(a-x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 3.4 证明：如归一化的波函数y(x)是实函数，则=i/2；如y=y(r)（与q，j无关），则= -3/2。 3.5 计算对易式x, Ly，pz, Lx，并写出类似的下标轮换式(xy, yz, zx)。 3.6 证明算符关系 3.7 设F为非厄米算符(F+F)，证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄米算符。求A、B与F、F+之关系。 3.8 一维谐振子(V1=kx2)处于基态。设势场突然变成V2=kx2，即弹性力增
5、大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。 3.9 有线性算符L、M、K，L, M=1，K=LM。K的本征函数、本征值记为yn、ln (n=1, 2, .)。证明：如函数Myn及 Lyn存在，则它们也是K的本征函数，本征值为(ln1)。 3.10 证明：如H=/2m+V()，则对于任何束缚态=0。 3.11 粒子在均匀电场中运动，已知H=/2m-qex。设t=0时=0，=p0，求(t)，(t)。 3.12 粒子在均匀磁场=(0, 0, B)中运动，已知H=/2m-wLz，w=qB/2mc。设t=0时=(p0, 0, 0)，求t0时。 3.13 粒子在势场V()中运动，
6、V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则束缚态能级下降。第四章中心力场 4.1 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer=Jeq=0,Jej= -。 4.2 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1) 求一圆周电流的磁矩。 (2) 证明氢原子磁矩为原子磁矩与角动量之比为这个比值，称为回转磁比率。 4.3 设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 4.4 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。 4.5 对于类氢离子的基态y100，求概然半径（最可几半径）及。 4.6 对于类氢离子的ynlm
7、态，证明= -= -En。 4.7 对于类氢离子的基态y100，计算Dx, Dpx，验证不确定关系。 4.8 单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量子数n的修正数公式。提示：将V(r)中第二项与离心势合并，记成，计算()之值，.。第五章表象理论 5.1 设|yn，|yk是厄米算符的本征态矢，相应于不同的本征值。算符与对易。证明=0。 5.2 质量为m的粒子在势场V(x)中作一维运动，设能级是离散的。证明能量表象中求和规则 (l为实数)。 5.3 对于一维谐振子的能量本征态|n，利用升、降算符计算、Dx、D
8、p。 5.4 设为角动量，为常矢量，证明,=i 5.5 对于角动量的态（, Jz共同本征态），计算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平均值，以及DJx、DJy。 5.6 设（单位矢量）与z轴的夹角为q，对于角动量的态，计算（即的平均值）。 5.7 以表示，Lz共同本征态矢。在l=1子空间中，取基矢为, 建立，Lz表象。试写出Lx及Ly的矩阵表示（3阶），并求其本征值及本征态矢（取=1）。 *5.8 对于谐振子相干态(a=a, a为实数)，计算，。第六章微扰理论 6.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 6.2 转动惯量为I、电
9、偶极矩为D的空间转子在均匀电场e中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 6.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰的作用。微扰矩阵元为H12=H21=a, H11=H22=b; a, b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 6.4 一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场e作用，设电场沿正x方向： (1) 用微扰法求能量至二级修正； (2) 求能量的准确值，并和(1)所得结果比较。 6.5 设在t=0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为esinwt，e及w均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单
10、色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。 6.6 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 6.7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 6.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 6.9 粒子（质量m）在无限深势阱0x0)中作一维运动。试用变分法求基态能量近似值。建议取试探波函数y(l, r)=Aexp(-l2r2)。 6.12 某量子力学体系处于基态y1(x)。t0后受到微扰作用，H(x,t)=F(x)e-t/t，试证明：长时间后(tt)该体系处于激发态yn(x)的几率为第七章自旋 7.1 证明。 7.2 求在自旋态中
11、，和的测不准关系： 7.3 求及的本征值和所属的本征函数。 7.4 求自旋角动量在(cosa，cosb，cosg)方向的投影的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？ 7.5 设氢原子的状态是 (1) 求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； (2) 求总磁矩 (SI)的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。 7.6 求电子的总角动量算符，Jz的共同本征函数。 7.7 在Sz表象中，证明。 7.8 对于电子的, 证明（取） 7.9 电子的总磁矩算符是对于电子角动量的l j j态(mj=j)计算mz的平均值(结果用量子数j表示出来
12、)。第八章多粒子体系 8.1 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？ 8.2 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)=mw2r2。如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 8.3 某体系由两个全同粒子组成，单粒子自旋量子数为s。求体系总自旋态中对称态与反对称态的数目。 8.4 某体系由三个粒子组成，单粒子状态为ya, yb, yg,., 写出体系波函数的可能类型（忽略粒子间相互作用）。 (a) 全同玻色子；(b) 全同费密子；(c) 不同粒子。8 / 8
