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1、数列通项公式的求法一、观察法:（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）二、公式法:1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、 例2：等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） (A) (B) (C) (D)等比数列中，已知，求数列的通项公式；若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式；例3：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）. （2）练习1、已知数列an的前n和满足求此数列的通项公式。2.设等差数列的前n项和为，若，则3.设数列的前项和为，对任意
2、的正整数，都有成立，记。求数列的通项公式； 4. 数列的前项和为，求数列的通项；三、累加法 :型如的递推关系简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得.例4：已知数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项. 例5.已知，求的通项。例6. 若在数列中，求通项例7.已知数列满足，求此数列的通项公式. 练习：已知数列an中，a1=1，
3、对任意自然数n都有，求四、累乗法:形如=(n)型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例8：在数列中，=1, (n+1)=n，求的表达式. 例9： 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式. .例10已知数列an满足，求an的通项公式。练习：1. 2. 已知，求。 3、已知,求数列an的通项公式.五、构造特殊数列法:构造1：形如,其中)型（1）若c=1时，数列为等差数列; （2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得
4、，所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列.例11：已知数的递推关系为，且求通项. 例12:设数列的首项求的通项公式； 构造2：解法：只需构造数列，消去带来的差异例13设数列：，求.例14、在数列中，求数列的通项公式；练习：1.已知数列满足且，求数列的通项公式。2.已知数列的前n项和（n为正整数）,求数列的通项公式；3.设数列的前项和为，已知，求的通项公式。（）当时，求证：是等比数列；（）求通项公式构造3： （）思路（构造等比数列）：在两边同时除以qn+1，转化为类型一。例15在数列中，求数列的前项和。练习：1.在数列中，,求数列的通项公式.2已知，求的通项。构造4：（p,q为常数且，q0
5、）设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)，即an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p，xy= -q，解得x，y，于是bn就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan），转化为类型一来解决。例16设数列的前项和为 已知，求数列的通项公式。例17. 已知数列中，,，求。练习:1、已知数列满足， .求的通项。 2、在数列中，且（）求数列的通项公式；3、在数列中，求.4、，则_构造5：倒数为特殊数列：（）或者an+1-an=pan+1an思路：（取倒数法）对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例18
6、： 已知数列中且（），求数列的通项公式. 例19已知数列的首项，求的通项公式；练习：已知，求。练习：，求通项公式构造6： （）:思路：（取对数法）对递推式两边取对数得，我们令，将问题转化成类型一来进行求解。例20数列满足a1=2，2+，求练习：已知，求六、待定系数法：例21：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn七、迭代法:一般是递推关系含有的项数较多例22、已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项例23：1、数列满足,且,求数列an的通项公式.2、数列满足,且,求数列a
7、n的通项公式3、等比数列的前项的乘积，若，则4、已知数列中，求通项.八、讨论法（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如型若(p为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;若f(n)为n的函数（非常数）时可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例24 ：1、已知数列满足，则_2、已知为偶函数，且，当时，。若，则_3、将所有的自然数按以下规律排列那么从2008到2010的顺序为()A. B. C. D.4、 数列满足,求数列an的通项公式.5、数列满足 ，若，则_6、数列满
8、足，则_数列求和的方法一、公式法：1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、例1 已知，求的前n项和. 例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 例3 在等比数列 an 中，已知对nN*， ，求例4 求_例5 求_例6 数列 an 的前n项和，求数列的前n项和二、错位相减法：方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：()解析：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积：设得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：.试一试1：求数列前n项的
9、和. 答案：练习：1、求数列的前n项和。解析：-得2、设等比数列的前n项和为，首项公比证明：若数列满足，求数列的通项公式。若记，数列的前n项和为，求证：当时，。解析：证明：解：是首项为，公比为1的等差数列 即。证明：-得 又单调递增 故当时。3、求和解析：当时，0； 当1时，； 当且时得 4.设正项等比数列的首项=，前n项和为，且。 求的通项；求的前n项和析： 由 得即0 ，是首项=，公比的等比数列 ，得 即 5、下表给出一个“三角形数阵”： 已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数 ， 列，每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为 ， ，求； 试写出关于的表达式；记第n行的和为
10、，求数列的前m项的和的表达式。解析：由题意知为等差数列，由知， 设得6、设数列满足求数列的通项公式； 令，求数列的前n项和。解析：由知得7、等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列 成等比数列。求数列的通项； 求数列的前n项和。解析：由已知得 解得或（舍）数列的通项是令的前n项和为得8、已知数列的首项证明：数列是等比数列； 求数列的前n项和。解析：证明： 又数列是以为首项，为公比的等比数列。解：知 即 设 则得 又数列的前n项和9、在占地3250亩的荒山上建造森林公园，2000年春季开始当年植树100亩，以后每年春季都比上一年多植树50亩，直到荒山全部被绿化为止。问哪一年春季才能将荒山全部绿
11、化完？如果新植的树木每亩木材量为，树木的每年自然增长率为20%，那么全部绿化完时该森林公园的木材总量是多少？（精确到，计算时）解析：设从2000年起，经过n年将荒山全部绿化完，并设绿化面积的总和为 得 到2009年春季能将荒山全部绿化完。设从2000年起，第n年春季木材量为得10、已知等比数列的前n项和为，且求的值及数列的通项公式； 设，求数列的前n项和。解析：时， 又得三、倒序相加法方法简介：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，然后再除以2得解.例4 求的值 . 答案S44.5四、分组法求和方法简介：有一类数列，既
12、不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组；例5 求数列的前n项和：， 答案 .试一试1 求之和 .简析：由于与、分别求和.五、裂项法求和：方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1） ； （2）=；（3）；4） （5） .例6 求数列的前n项和.例7 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.试一试1：已知数列an：，求前n项和. 试一试2：.六、合并法求和例8 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值. 答案 0例9 数列an：，求S2002.（周期数列）例10
