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1、1 江苏省吴江平望中学江苏省吴江平望中学 2018-20192018-2019 学年高二数学下学期第二次阶段性学年高二数学下学期第二次阶段性 测试试题测试试题 理理 一、填空题填空题 ： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位 置上） 1. 设， 是虚数单位，若为纯虚数，则 Rai)1)(iiaa 2.设，则是的 条件 Rx”“1log2x”“02 2 xx （从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要” 、 “充要”中选择） 3.设曲线在点处的切线方程为，则= ln(1)yaxx(0,0)2yxa 4.若双曲线过点，则该双曲线的虚轴
2、长为 1 22 myx2 ,2- 5.已知矩阵，则矩阵的逆矩阵为_ 30 12 AA 6. 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为 1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不 限，则 1，2 号盒子中各有 1 个球的概率为 7.已知直线 的极坐标方程为，点的极坐标为，则点l2 sin()2 4 ) 4 7 ,22( A 到直线 的距离为 l 8.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：，如果把这个结论推广到空rhhr 3 1 间正四面体，那么正四面体内切球的半径与此正四面体的高的关系是 RH 9设棱长为的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积a 和侧面积分别
3、为V2，S2，若，则的值为_ V1 V2 3 S1 S2 10.设,那么)() 1(kfkf )( 2 1 . 3 1 2 1 1 1 )( Nk kkkk kf . 11. 的展开式中的常数项为-40，则=_ 5 1 21 x xaxa 12在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人， 每人 2 张，不同的获奖情况有 种（用数字作答） 13.在平面直角坐标系中，点在圆：上，若xOy( 12,0)A (0,6)BPO 22 50 xy 2 ，则点的横坐标的取值范围是 20PBPAP 14.已知函数.设是函数的导函数,当时，不xxxf2 2 1
4、)( 2 xxgln)(,)( xf)(xf1x 等式恒成立，则整数 m 的最大值为_. ) 1(3)()( 2xmxxgxf 二、解答题：（解答题：（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分 14 分)已知二阶矩阵对应的变换将点变换成，将点A 1 , 1M3 , 3M 变换成. 2 , 1N0 , 3N （1）求矩阵； A （2）若向量，计算. 5 1 3 A 16.(本小题满分 14 分)如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知 ADEFABCD , CDAB/CDAD 1 2 1 CDADAB （1）求直
5、线与平面所成角的正弦值； ECBDF （2）线段上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出ECPPBDF 3 22 的值；若不存在，说明理由 EP EC 17. (本小题满分 14 分)某校开设 8 门校本课程， 其中 4 门课程为人文科学， 4 门为自然科学， 学校要求学生在高中三年内从中选修 3 门课程，假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文科学，2 门自然科学，若该同学通过人 ( 第 16 题 ) A B C D F E y x z P 3 文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都
6、是，且各门课程通过与否相互独立.用 4 5 3 4 表示该同学所选的 3 门课程通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望。 18.（本小题满分 16 分）长方形鱼池，现要ABCDbababADaAB为常数且, 在长方形一角如图划出一个直角三角形搭建一个钓鱼台，（点M，N分别在线段AB，AMN AD上），已知直角三角形AMN的周长为设的面积为 all2AMNxAM ,S （1）求关于的函数关系式； Sx （2） 试确定点M的位置，使得钓鱼台的面积最大，并求出S 的最大值 S 19. (本小题满分 16 分)已知椭圆的离心率为，短轴端点到 2 22 2 2 22 2 : :1 10 0 x xy
7、 y C Ca ab b a ab b 3 2 焦点的距离为 2. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 A,B 是椭圆 C 上的任意两点，O 是坐标原点，且 OAOB； 求证 ： 存在一个定圆， 使得直线 AB 始终为该定圆的切线，并求出该定圆的方程； （第 18 题图） 4 20. (本小题满分 16 分)已知数列的各项均为正数， n a n n n a n nb 1 1 (nN N)，为自然对数的底数 e (1)求函数的单调区间，并比较与的大小； x exxf1 n n 1 1e (2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明； 321 321 21 21 1 1 , aaa bbb aa
8、 bb a b n n aaa bbb . . 21 21 5 平望中学平望中学 2018201820192019 学年五月份月考参考答案学年五月份月考参考答案 高二数学（理科） 1. -1 2. 充分不必要 3. 3 4. 4 5. 6. 7. 3 1 0 6 1 2 1 9 25 2 2 8. 9 10.(或) HR 4 1 32 )22)(12( 1 kk 不化简也算对 1 1 22 1 12 1 kkk 11. -1 12. 60 13. 14. 4 5 2,1 15 【解析】 （1），则 dc ba A ， 解得，,所以 12 21 A （2）矩阵的特征多项式为 ， A 32 12
9、21 2 f . 1 -30 21 ，解得令f 从而求得对应的一个特征向量分别为. 1- 1 1 1 21 ， 令 , 2, 3, 21 nmnm求得 所以. 79 83 )(2)(3)23( 2 3 21 3 121 33 AA 16. 因为平面平面，平面平面， ADEF ABCDADEF ABCDAD 平面，所以平面， CD ABCDCDADCD ADEF 因为平面，所以 DE ADEFCDDE （1）建立如图所示的空间直角坐标系 设，则， 1AD (0 0 0)D，(1 1 0)B ， ，(0 2 0)C，(0 0 1)E，(1 0 1)F， 所以， (0 21)EC ，(1 0 1)D
10、F ， ，(1 1 0)DB ， ， 设平面的法向量， BDF()xyz，n 6 则，即，令，则，所以， 0 0 DF DB n n 0 0 xz xy 1x 1yz (111)，n 设直线与平面所成角为， ECBDF 则， 0 12( 1)( 1)( 1) 15 sin 15 53 EC EC n n 即直线与平面所成角的正弦值为 ECBDF 15 15 （2）假设线段上是否存在点满足题意，设， ECP(01)EPEC 则，所以 (0 21)P，(0 21)DP ， 设平面的法向量， BDP()xyz，n 则，即，令，则 0 0 DP DB n n 2(1)0 0 yz xy 1y 2 (1
11、1) 1 ，n 设二面角的平面角为， FBDP 3 1 sin1cos 2 则 3 1 1 2 23 1 2 11 ,cos 2 nn 解得或 即 1 3 5 7 7 5 3 1 或 EC EP 17.解： (1) 记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A， 则， 3 4 3 8 113 (A)=11 1414 C P C 所以该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率为. 13 14 (2)随机变量的所有可能取值有 0,1,2,3 因为， 2 111 ( =0)= 5480 P 2 1 2 411131 ( =1)=+ 545448 PC ， 2 1 2 4131333 ( =2)=
12、+= 5445480 PC 20 9 4 3 5 4 3 2 P 7 0 1 2 3 P 80 1 8 1 80 33 20 9 所以 10 23 3 20 9 2 80 33 8 1 E 18(1)解：设，则， yAN lyxyx 22 整理，得 )(2 2 2 xl lxl y ax xl lxlx xyS, 0, 4 2 2 1 2 （2) axlxlx lx l lx llxxl S, 0, 2 22 2 22 4 242 4 22 22 当时，在递增，故当时，； la 2 22 0SSax, 0ax )(4 )2( max la laal S 当时， 在上，递增， 在上，la 2 22 ) 2 22 , 0(lx 0S S ), 2 22 (alx 0S 递减，故当时， S lx 2 22 2 max 4 22-3 lS 19.(1)设椭圆的半焦距为 c，由题意，且 a=2， 得,b=1, 3 2 c a 3c 所求椭圆方程为. 2 2 1 4 x y （2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程 ),(),(, 2211 yxByxAmkxy 则由，得：（1+4k2）x2+8kmx+4
