材力讲稿ch

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1、版权所有, 2000,2005 (c) 华中科技大学力学系 华中科技大学力学系 罗 俊 材材 料料 力力 学学 Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , China E-mail: luo_jun_1975 Tel: 13971226189 Mechanics of MaterialsMechanics of Materials 1 3.1 扭转变形 扭矩 3.2 薄壁圆筒的扭转 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 3.4 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 3.5 矩形截面杆的自由扭转 3.6 薄壁截面杆的自由扭转 3.7 理想弹塑性圆截面杆的扭转计算

2、 第三章 扭转 2 3.1 扭转变形 扭矩 u 受扭构件外力作用特点以及变形特点。 u 外力偶矩的计算方法。 u 扭矩 u 扭矩图 3 受扭转载荷的构件1 4 受扭转载荷的构件2 汽车中的转向轴 5 受扭转载荷的构件3 机器中的传动轴 6 受扭转载荷的构件4 7 在构件端部垂直于轴线的平面内作用有外力偶 M0 外力作用特点 杆件各横截面绕轴线作相对转动，任意两横截面 间相对转过的角度，称为两截面的相对扭转角， 用fAB 表示。 变形特点 A B O M0 M0 O B A AB 一. 外力作用特点和构件变形特点 3.1 扭转变形 扭矩 8 例如：富康AX轿车额定功率65kW，在4500转时平稳

3、（N与n 无关）输出扭矩 二. 外力偶矩的计算 3.1 扭转变形 扭矩 9 由平衡方程 T是横截面上的内力偶矩 ，称为扭矩。 取左边部分 假想切面 外力偶 外力偶 内力偶 平衡 三. 扭矩 截面法 3.1 扭转变形 扭矩 10 按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向， 扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一 致者为正，反之为负。 扭矩矢量指向(大拇指） 与截面的外法线方向一致 正 负 扭矩矢量指向(大拇指） 与截面的外法线方向相反 四. 扭矩的符号规定 3.1 扭转变形 扭矩 11 五.扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线 目 的 扭矩变化规律； |T|max值及其截面位置 强度计算（危险

4、截面） 。 x T 3.1 扭转变形 扭矩 12 以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置 ，以垂直于x轴的坐标表示扭矩值，得到 扭矩随截面位置而变化的扭矩图。 10 20 画扭矩图举例 13 例 某机器的传动轴如图2.6（a）所示，轴的转速n=700r/min， 主动轮的输入功率为NA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率 分别为NB=NC=120KW，ND=160KW。试作轴的扭矩图。 解: 计算外力偶矩 14 分别取截面分析 BC段 BA段 AD段 根据前面求得的扭矩值 作扭矩图 最大扭矩发生在AC段各横截面上 15 u横截面上的应力以及扭转变形的大小 u切应力互等定理 3.2 薄壁圆筒的

5、扭转 16 长为 的薄壁圆筒：壁厚（r0为平均半径） 已知条件:两端作用外力偶矩 ， 求薄壁 圆筒的变形以及横截面上的应力分布。 合理解的要求: (1)静力平衡. (2)变形几何 协调. (3)满足物理方程. 根据静力平衡条件: 满足此方程的函数有无数个, 所以仅凭借此方程无法求得应 力分布.所以我们需要借助实验来观测应力应变的分布规律, 并通过测试得到材料性质. 3.2 薄壁圆筒的扭转 一. 横截面上的应力和扭转变形 17 扭转实验： 1.实验前： 绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。 圆筒表面的各圆周线的形状、 大小和间距均未改变，只是 绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小

6、角度 (剪切应变)。所有矩 形网格均歪斜成同样大小的 平行四边形。 端部仍然保持为平面。 2.实验观察结果 3.2 薄壁圆筒的扭转 18 3. 结论： 各横截面的大小形状间距不变，并仍然保持为平面。可假设各 横截面绕轴线发生刚性转动。所以横截面上无正应力，只有切 应力并且切应力与圆周相切。由于壁比较薄，可认为切应力和 切应变沿壁厚均匀分布。由于沿周向变形无变化，可认为切应 力沿周向也不发生变化。 切应力分布规律和变形规律已经得到, 切应力和扭转变形分别为多大? 3.2 薄壁圆筒的扭转 19 剪应变 与扭转角的关系可由 下面公式得到: 变形已经协调,还是不知道变形多大。必须把变形和 载荷联系起来

7、,这取决于材料的力学性质。 薄壁圆筒剪应力 大小可由静力平衡条件得到： 3.2 薄壁圆筒的扭转 20 我们已经得到了扭转角和剪应变的关系，由静力平衡条件 得到了剪应力和扭矩的关系。我们还需要了解材料的力学 性质以确定扭转角和剪应变的大小。 实验测定扭矩和扭转角之间的关系 3.2 薄壁圆筒的扭转 21 T=m 剪切虎克定律：对于线弹性材料, 当剪应力不超过材料的剪 切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。 剪切虎克定理 3.2 薄壁圆筒的扭转 22 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定 ，钢材的G值约为80GPa。

8、剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（ 推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。 3.2 薄壁圆筒的扭转 23 由于G是材料常数，薄壁圆筒的扭转角和剪应变可以通过扭矩表示出 来： 薄壁圆筒求解小结 实验观察几何特征 周向线大小形状间距均不发生变化.纵向 线发生小角度倾斜.倾斜角度沿圆周相同. 端部仍然为平面. 无正应力,只有切应力且与圆周相切. 切应力沿圆周均匀分布.各横截面发生 刚性转动. 薄壁圆筒,可认为应力,应变沿厚度无变化 . 静力平衡求得切应力(扭矩已知 ) 剪应

9、变和扭转角之间的关系. 物性实验得到扭矩和扭转角之 间的线性关系. 对于线性材料引入剪切模量 (材料常数,需事先给定) 变形大小 薄壁圆筒扭转问题的小结 24 由微元体的平衡： 上式称为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪 应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的 交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。 a cd dx b dy t z 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 3.2 薄壁圆筒的扭转 二. 切应力互等定理 25 为什么薄壁圆筒横截面上的剪应力沿环向? 根据切应力互等定理,如果切应力在径向上有分量, 那

10、么圆筒的表面存在切应力,这与实际情况不符。 切应力互等定理的应用 26 u横截面上的应力 u极惯性矩和抗扭截面模量的计算 u圆轴扭转斜截面上的应力 u圆轴扭转的变形 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 27 等直圆轴横截面应力 变形几何关系（实验观测并假设 ） 物理关系(应力应变关系) 静力学方面 一. 等直圆杆扭转实验观察： 在薄壁圆筒的求解中我们引入了剪切模量,对于线弹性材料, 在以后的推导中我们将直接应用虎克定理-应力应变关系 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 1. 圆周线的大小形状以及间距保持 不变，仅绕轴线转动。 2. 小变形条件下，各纵向线仍近似是一条直线，只是倾斜了 一个微小角度。 3

11、. 端部保持为平面. 28 二. 圆轴扭转的平面假设 由实验观测结果，我们可以做如下假设：圆轴各横截 面变形后仍然保持为平面，形状和大小不变。半径仍然保持 为直线，且相邻两截面之间的距离不变。各横截面仅绕轴线 发生相对转动。这一假设称为圆轴扭转的平面假设。由此假 设导出的圆轴的应力和变形计算公式，已经得到理论与实验 的验证。 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 29 由平面假设,我们已经得到了变形几何关系所以可以求解圆轴 扭转时横截面上的应力 1.由平面假设可得到圆轴扭转 的变形几何关系： 距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 扭转角沿长度方向变化率,单位扭转角。 3.3 圆轴扭转时的应力和

12、变形 三. 横截面上的应力 30 2.物理关系： 虎克定律： 代入上式得： 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 31 3.静力学关系： O dA 令 代入物理关系式 得： 横截面上距圆心为处任一点剪应力计算式。 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 32 4.公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的 等圆截面直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 33 对于实心圆截面： D d O 对于空心圆截面： d D O

13、d 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 四. 极惯性矩和截面抗扭模量 34 （实心截面）（空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 实心圆轴和空心圆轴受扭转时横截面上的应力分布 35 由圆轴扭转的切应力分布图可知最大剪应力分布在圆轴外表面 ： 由 知：当 Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 36 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 五. 圆轴扭转时的变形 37 单位扭转角 ： 或 刚度

14、条件 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 38 静力方程 物理方程 几何方程 变形计算公式 应力计算公式 最大应力公式 结 论 横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最 大 圆轴扭转时，横截面上一点剪应力和 剪应变与该点的极坐标呈比例 横截面最大剪应力与横截面的抗扭截 面模量成反比 扭转刚度 横截面扭转变形（单位长度扭转角） 与横截面的扭转刚度成反比 抗扭截面模量 小结 39 画轴的扭矩图 极惯性矩和抗扭截面模量的计算 确定可能的危险截面 计算危险（最大）点应力 求出最大剪应力 计算两截面相对扭转角 计算最大单位长度扭转

15、角 圆轴扭转时的应力和变形求解过程 40 例2.2 一空心圆轴如图2.13（a）所示，在A、B、C处受 外力偶作用。已知 ， ， ，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大 剪应力 ；（2）C截面相对A截面的扭转角 画轴的扭矩图解： A、B可能为危险截面 计算危险（最大）点应力 所以， 计算扭转角 41 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。 3.3圆轴扭转时的应力和变形 六. 圆轴扭转时斜截面上的应力 42 1. 点M的应力单元体如图(b)： (a) M (b) (c) 2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)： (d) x 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 43 (d) x n t 转角规定： 轴正向转至截面外法线 逆时针：为“+” 顺时针：为“” 由平衡方程： 解得： 3.3 圆轴扭转时的应力和变形 44 分析： 当 = 0时， 当 = 45时， 当 = 45时， 当 = 90时， 45 由此可见：圆轴扭转时