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1、中国现堑竺生型窒室笙三塑兰查兰全笙奎 ! ! ! ! 竺! ! ! 一堕 _ - _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ - P _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ 一一 L i n c o l n P e t e r s e n 模型中群体大, J , f t 4 j 置信限和置信区间 陈家鼎 北京大学数学科学学院 1引言 陈奇志 北京大学光华管理学院 在野生动物研究、渔业和生物学中群体数目( 即该群体中个体的总数) 的估计 是一个重要问题。统计学中的捕获一再捕获( c a p t u r e r e c a p t u r e ) 方法正是针对这 一
2、问题而提出的解决方法。这种方法也可以用于其它领域，例如具有某种消 费倾向的消费者的人数的估计，吸毒群体的人数估计，艾滋病病毒携带者人 数的估计等。早在1 8 世纪P L a p l a c e 就使用过捕获再捕获方法。时至今日，这种 方法得到蓬勃发展，针对不同的具体情形提出了多种统计模型和统计分析方 法( 参看刘力平( 2 0 0 4 ) ) 。本文就历史上最早提出的模型L i n c o l n P e t e r s e n 模 型( 见S e b e r ( 1 9 8 2 ) ) 进行研究。这个模型可如下描述。设有一个封闭的有限总 体( 例如一个池塘中的鱼) ，个体总数是N ( 未知的
3、正整数) 。从中任取n 】个 ( 例如捕获佗1 条鱼) ，将这n ，个个体做上记号再放回原群体中( 如将礼1 条鱼 做上记号后放入原池塘) ，过一段时间再从该群体中任取n 2 个个体( 如再捕 获n 2 条鱼) ，发现这几2 个个体中有m 个是带有记号的。问是多少? 这里假定 每次从群体中抽取个体时，每个个体都有相同的概率被抽取到。n ，和n 2 是已知 的正整数。 我t f J9 H 道，若m 1 ，则的最大似然估计是 砖= 【丐n l n - 2 】( f X 表示不超过x 的最大整数) 。 若m = 0 ，要给出的合适估计值是不可能的。可以证明，没有无偏估 计。实际上，用f 表示第二次取
4、到的扎2 个个体中带有记号的个体数，则f 是服从 超几何分布的随机变量。若妒( ) 是的无偏估计，则对一切m a x ( n 1 ，礼2 ) 成 立E 妒( ) = N ，即 n 2 EI ，o ( m ) L ( m l N ) = m - - - - O + 国家自然科学基金( 1 0 0 4 7 1 0 0 7 ) 资助项目 ( 1 ) 中囝现场统计研究会第十三届学术年会论文2 0 0 7 年8 月 这里L ( mJ ) 是群体数目为时f 等于m 的概率，即 L ( m N ) = 叼懈四，m = 0 ，1 ，n O 这里伽= m i n ( n l ，竹2 ) ，q = O ( j i
5、 o ) ，锘= 1 于是有 n 2 妒( m ) 叼四篇= 嘴 m = O 此式右端是的钆2 + 1 次多项式，左端是的至多n 2 次多项式，两端不可能对一 切N r n a x ( n l ，佗2 ) 成立等式。这个矛盾表明没有无偏估计。 在实际问题中点估计往往不能满足我们的要求，我们还希望了解到底的估 计值与的真值相差多少，本文要给出的置信限和置信区间及其有效的计算 方法。 2 群体数目的置信限和置信区问 我们可使用统计量方法寻求的置信下限和置信上限( 统计量方法见陈家鼎等 ( 2 0 0 6 ) ) 。 沿用前面的记号，令 G ( m ，N ) = R m ) ，g ( m ，N )
6、= P ( Q ) N u ( m ) = s u p N ：N m a x ( h i ，n 2 ) 且H ( m ，N ) Q ) 由 3 中5 4 页上的定理3 5 知 P ( 矾( 妒) ) 1 一Q 由于G ( m ，N ) = O ( n 2 一m ，) ，我们有矾( 妒) = 矾( n 2 一专) = 舰( 专) 故( 6 ) 成 立。同理知( 7 ) 式成立。( 8 ) 式直接从( 6 ) 和( 7 ) 推出。证毕。 下面我们来看如何利用( 4 ) 和( 5 ) 计算N L ( m ) t f l N v ( m ) 7 易知仇= n O = m i n ( n l ，n 2
7、) ，N = m a x ( r z l ，佗2 ) 时 故此( n o ) = m a x ( n l ，n 2 ) 以下恒设0 m O t ， a ( m ，N ) = 0 ，( m a x ( h i ，n 2 ) N 佗l + n 2 时 a ( m ，N ) a ( o ，N ) = 曜n ，四_ I ( N _ ( 2 0 ) 我们还可以证明下列结论： 引理1 对一切N 佗1 + 佗2 一m ，a ( m ，) 是的严格增函数。 由于此引理的证明篇幅较长，这里将证明略去。有了这个引理，我们 可用二分法寻求L ( m )( 对畅( 仇) 亦然，从略) 。首先找1 O L ，则令l =
8、 n 1 + n 2 一m 一1 ，N O = 0 ；若G ( m ，N o ) 口，则 令 当m = 0 N ，取N o = 【七 ( 可以证明G ( o ，N o ) Sa ) ，i o 仍由( 1 0 ) 式定 l 一口n 2 义。令1 = T o N o ，2 = 2 N , 。对于置信上限N v ( m ) a - - 丁用类似方法求出。注 意，H ( O ，N ) = 0 ，地( o ) = o 。 例r $ 1 = 1 0 0 ，T $ 2 = 2 0 0 ，Q = 0 0 5 对m = 0 ，1 0 ，2 0 ，3 0 ，6 0 可分别求出L ( m ) ，N u ( m )
9、， 列表如下 m肌( m ) ( m ) O6 8 2 7 1 01 2 4 1 3 5 8 6 2 07 3 61 4 4 3 3 05 3 28 7 3 6 03 0 03 8 1 参考文献 【l 】刘力平，捕获再捕获与捕获移出模型的概念、方法和新进展【J 1 ， 数学进 展，3 3 卷( 2 0 0 4 ) ，N o 5 ，5 2 5 3 9 2 S e b e rG A F ，T h eE s t i m a t i o no fA n i m a lA b u n d a n c ea n d & l a t e dP a r a m e - t e r s f M I 2 n de d i t i o n N e wY o r k ：M a c m i l l a n ，1 9 8 2 ( 3 陈家鼎，孙山泽，李东风，刘力平， 数理统计学讲义( 第二版) ，北 京：高等教育出版社，2 0 0 6 。 q 口 mG 且数整正是 0 n 翥 幻 = 幌 旷 分 = M
