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1、节 命题及其关系、充分条件与必要条 件 总纲目录 教材研读 1.命题的概念 考点突破 2.四种命题及其关系 3.充分条件与必要条件 考点二 充分条件、必要条件的判断 考点一 四种命题的相互关系及真假判断 考点三 充要、必要条件的应用 1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做 真命题 ,判断为假的语句叫做 假命题 . 教材研读 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 (i)两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 没有关系 . 3.充分条件与
2、必要条件 (1)若p q,则p是q的 充分 条件,q是p的 必要 条件. (2)若p q,且q / p,则p是q的 充分不必要条件 . (3)若p / q,且q p,则p是q的 必要不充分条件 . (4)若p q,则p与q互为 充要条件 . (5)若p / q,且q / p,则p是q的 既不充分也不必要条件 . 1.下列命题中的真命题为 ( ) A.若 = ,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 = D.若x 0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 C 答案 C 若|a+b|a-b|,则|a+b|2|a-b|2,
3、即|a|2+|b|2+2ab|a|2+|b|2-2ab, 即4ab0,则ab0, 反之,也成立, 即“|a+b|a-b|”是“ab0”的充分必要条件, 故选C. 5.(2017北京朝阳期中)设xR且x0,则“x1”是“x+ 2”成立的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 当x2不成立. 当x0时,x+ 2 =2,当且仅当x= ,即x=1时,取等号. 当x1时,不等式x+ 2成立,反之不一定成立.故选A. A 6.(2017北京朝阳期末)已知a0,且a1,则“函数y=ax在R上是减函数” 是“函数y=(2-a)x3在R上是增函
4、数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A a0且a1,若函数y=ax在R上为减函数, 则a(0,1); 若函数y=(2-a)x3在R上是增函数, 则a(0,1)(1,2). a(0,1)可推出a(0,1)(1,2),但a(0,1)(1,2)推不出a(0,1).故选A. A 典例1 (1)设mR,命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题 是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,
5、则m0 考点一 四种命题的相互关系及真假判断 考点突破 D (2)(2017北京丰台期末)已知函数f(x)=ln(x+a)-sin x.给出下列命题: 当a=0时, x(0,e),都有f(x)0; 当a=1时, x0(2,+),使得f(x0)=0. 其中真命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析 (1)命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方 程x2+x-m=0没有实根,则m0”,故选D. (2)对于,当a=0时, f(x)=ln x-sin x, 当x= 时, f =ln -sin ln - =0,故不正确; 对于,ae时, x(0,+),ln(x
6、+a)ln e=1,-1sin x1,则f(x)0恒成 立,故正确; 对于,当a=1时, f(x)=ln(x+1)-sin x, 当x2时,x+13,故ln(x+1)1, 故f(x)0恒成立,故不正确,故选B. 答案 (1)D (2)B 方法技巧 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意以下两点 对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; 若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.命题真假的判断方法 (1)给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明 它是假命题,只需举一反例即可. (2)由于原命题与其逆否命题为等价命题,有时可以利用这种等价性间 接地证明命题的真假
7、. 1-1 有以下命题: “若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; “面积相等的两个三角形全等”的否命题; “若m1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; “若AB=B,则A B”的逆否命题. 其中真命题为 ( ) A. B. C. D. 答案 D “若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题; “面积不相等的两个三角形一定不全等”是真命题; D 若m1,则=4-4m0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题; 由AB=B,得B A,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题. 所以选D. 考点二 充分、必要条件的判断 典例2 (1)(2017北京,7,5分)设m,n为非零向量,则“存
8、在负数,使得m= n”是“mn0,b0,则“ab”是“a+ln ab +ln b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则 mn=-|m|n|f(b),a+ln ab+ln b. 答案 (1)A (2)A (3)C 故充分性成立. 当a+ln ab+ln b时,可得f(a)f(b),ab. 故必要性成立. 故选C. 方法技巧 判断充分、必要条件的三种方法 1.利用定义判断. 2.利用集合间的包含关系判断. 记法A=x|p(x),B=x|q(x) 关系A BB AA=
9、BAB且 BA 结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充 分条件 p是q的充要条件p是q的既不充分 也不必要条件 3.利用等价转换法判断. 利用p q与q p,p q与q p的等价关系进行判断,对于条件或结 论为否定形式的命题一般运用等价法. 2-1 直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“|AB|= ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 当k=1时,直线l:y=x+1, 圆心(0,0)到直线的距离d= , |AB|=2 = ,充分性成立; 当|AB|= 时,|AB|=2 (其中d为
10、圆心到直线的距离),解得d= ,解 得k=1,必要性不成立,故选A. A 2-2 (2017北京西城二模)设a,b0,则“ab”是“ b”,但 ,故充分性不成立; 反之,当 b也不一定成立,例如a=-1,b=2. 故“ab”是“ ”的既不充分也不必要条件. D 考点三 充分、必要条件的应用 典例3 (1)(2016北京朝阳期中)设p: 0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p 是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. (2)已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是xS 的必要条件,则实数m的取值范围为 . 答案 (1)
11、B (2)0,3 解析 (1)令A= ,则A= .令B=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0,则 B=(a,a+1).p是q的充分不必要条件,A B,则 解得0a ,故 实数a的取值范围是 ,故选B. (2)由x2-8x-200得-2x10, P=x|-2x10, 由xP是xS的必要条件,知S P. 则 0m3. 当0m3时,xP是xS的必要条件,即所求m的取值范围是0,3. 方法技巧 解决由充分、必要条件求参数范围问题时,一般要把充分条件、必要条 件或充要条件转化为集合之间的包含关系,然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(组)求解. 3-1 设命题p:|4x-3|1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的必要不 充分条件,则实数a的取值范围是 ( ) A. B. C.(-,0 D.(-,0) A
