《高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用 新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用 新人教a版必修5（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 等差数列前n项和的性质与应用 等差数列前n项和的性质 (1)设等差数列an,Sn为其前n项和,那么Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,仍构成等差数列,且公 差为k2d. (2)设等差数列an. 若项数为2n(nN*),则S2n=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),且S偶-S奇=nd; 若项数为2n-1(nN*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶=an,S偶S奇=(n- 1)n. (3)设an,bn均为等差数列,An为数列an的前n项和,Bn为数列bn的前n项和, 则 (4)设Sn为等差数列an的前n项和,则仍为等差数列,且公差为 (4)设Sn
2、为等差数列an的前n项和,则 仍为等差数列,且公差为 探究一探究二探究三 探究一等差数列前n项和的性质应用 在等差数列的有关计算问题中,合理地运用等差数列及其前n项和的性质,可 以简化计算,优化解题过程. 探究一探究二探究三 典型例题1 (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( ) A.5B.4C.3D.2 (2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为 3227,则公差d= . (3)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150, 则n的值为 . 思路分析:(1)(2)利用项数为2n的等差数
3、列中,S偶-S奇=nd的性质求解或转化为用 基本量a1,d求解;(3)利用项数为2n-1的等差数列的性质求解. 探究一探究二探究三 解析:(1)由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3. S偶-S奇=6d,d=5. (3)等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,a中=15. 又S2n+1=(2n+1)a中,165+150=(2n+1)15, n=10. 答案:(1)C (2)5 (3)10 方法总结 关于奇数项和与偶数项和的问题,用等差数列的性质求解,能简化计算. 探究一探究二探究三 典型例题2 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求其前110项之和. 思路分析:用
4、等差数列中的“Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列”求解. 解:易得数列S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列. 设其公差为D,则前10项的和为 10S10+ D=S100=10,解得D=-22, S110-S100=S10+(11-1)D=100+10(-22)=-120.S110=-120+S100=-110. 探究一探究二探究三 变式训练 1等差数列an前n项的和为30,前2n项的和为100,则它的前 3n项的和为( ) A.130 B.170C.210D.260 解析:数列an为等差数列,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差
5、数列. Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),30+(S3n-100)=2(100-30),解得S3n=210. 答案:C 探究一探究二探究三 探究二求数列|an|的前n项和 已知等差数列an,求|an|的前n项和的步骤: (1)确定通项公式an; (2)根据通项公式确定数列an中项的符号,即判断数列an是先负后正,还是 先正后负; (3)去掉数列|an|中各项的绝对值,转化为an的前n项和求解,转化过程中有 时需添加一部分项,以直接利用数列an的前n项和公式; (4)将|an|的前n项和写成分段函数的形式. 探究一探究二探究三 典型例题3 已知数列an的前n项和,求数列|an|的前n
6、项和 Tn. 思路分析:先求出通项an,再确定出数列中项的正负,再利用Sn求解. 当n2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104. n=1也适合上式, 数列an的通项公式为an=-3n+104(nN*). 即当n34时,an0; 当n35时,an0. 探究一探究二探究三 (1)当n34时,Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=Sn (2)当n35时, Tn=|a1|+|a2|+|a34|+|a35|+|an| =(a1+a2+a34)-(a35+a36+an) =2(a1+a2+a34)-(a1+a2+an) =2S34-Sn 探究一探究二探究三 变式训练 2已知数列an的通项
7、公式是an=4n-25,求数列|an|的前n项 和. 解:an=4n-25, an+1=4(n+1)-25,an+1-an=4,a1=41-25=-21, 数列an是以-21为首项,公差为4的等差数列. 数列an中前6项均小于0,从第7项起均大于0. 探究一探究二探究三 当n7时,|a1|+|a2|+|an| =-(a1+a2+a6)+(a7+a8+an) =(a1+a2+an)-2(a1+a2+a6) =Sn-2S6 =2n2-23n+132. 探究一探究二探究三 当n6时,|a1|+|a2|+|an| =-(a1+a2+an) =-Sn =-2n2+23n. 探究一探究二探究三 探究三易错
8、辨析 易错点 把握不准性质致错 典型例题4 已知两个等差数列an,bn,它们的前n项和分别记为Sn,Tn, 探究一探究二探究三 1 2 3 4 5 1.等差数列an的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于( ) A.12B.18C.24D.42 解析:易知S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24. 答案:C 1 2 3 4 5 2.一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,则它的首项与公 差分别是( ) A.0.5,0.5B.0.5,1C.0.5,2D.1,0.5 解析:S偶-S奇=5d=15-12.5=2.5,d=0.5. 答案:A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.在等差数列an中,a3+a9+a15=21,则S17= . 解析:a3+a9+a15=21, a9=7. S17=17a9=177=119. 答案:119
