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1、矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：是平行四边形；有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点
2、的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜
3、边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：直角三角形两锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BEDF求证ABECDF【思路点拨】：由矩形的性质可得ABCD，BD90，然后用它们作条件证明ABECDF【答案与解析】证明： 四边形ABCD是矩形 ABCD，BD90在ABE和CDF中 ABECDF(SAS)【总结升华】矩形的性质常用于求线
4、段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用举一反三：【变式】如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点P为AB边上任一点，过P分别作PEAC于E，PFBC于F，则线段EF的最小值是_ 【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EFPC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.（1）求证：BECDFA；（2）连接AC，若CACB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD,BD，BCAD.E、F分别是AB、C
5、D的中点，BEAB，DFCD.BEDF.BECDFA.（2）四边形AECF是矩形.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，且ABCD.E、F分别是AB、CD的中点，BEAB，DFCD.AECF且AECF.四边形AECF是平行四边形.CACB，E是AB的中点，CEAB，即AEC90.四边形AECF是矩形.【总结升华】要证明BEC和DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】如图，在ABC中，ABAC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明
6、：四边形ABDE是平行四边形，AEBC，ABDE，AEBDD为BC的中点，CDBDCDAE，CDAE四边形ADCE是平行四边形ABACACDE平行四边形ADCE是矩形.3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H 求证：四边形EFGH是矩形【思路点拨】AE、BE分别为BAD、ABC的角平分线，由于在ABCD中，BAD+ABC180，易得BAE+ABE90，不难得到HEF90，同理可得HF90【答案与解析】证明：在ABCD中，ADBC， BADABC180， AE、BE分别平分BAD、ABC， BAEABEBADABC90 HEFAEB90 同理：HF90 四边形EFGH是矩
7、形【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，ABC中，ABAC10，BC8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（）A20 B12 C14 D13【答案】C；【解析】解：ABAC，AD平分BAC，BC8，ADBC，CDBDBC4，点E为AC的中点，DECEAC5，CDE的周长CDDECE45514【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且APCBPD90求证：平行四边形ABCD是矩形【答案】解：连接OP 四边形ABCD是平行四边形 AOCO，BODO， APCBPD90， OPAC，OPBD， ACBD 四边形ABCD是矩形5
