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1、2018-2019学年北京二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的，共8小题，每小题5分，共40分。请将答案填涂在机读卡上。)1若集合，则（）ABCD2下列四个命题中，假命题为（）ABCD3已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差是（）AB1C2D34如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）ABCD5函数的图象如图所示，则的解析式可以为（）ABCD6已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得函数为偶函数时，则的一个值是（）ABCD7函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（）ABCD或8对
2、定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线和使得当时，恒成立，则称函数在有一个宽度为d的通道有下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）其中在上通道宽度为1的函数是（）A（1）（3）B（2）（3）C（1）（3）（4）D（2）（3）（4）二、填空题（共5小题，每小题5分，共30分)9函数的单调递增区间是 10设平面向量，若，则|等于 11已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是 12一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 13某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中当时，T（a）表示非负
3、实数a的整数部分，例如T（2.6）2，T（0.2）0按此方案，第6棵树种植坐标应为 ，第2018棵树种植点的坐标应为 三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)14在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若a2，且ABC的面积为，求ABC的周长15某学校餐厅新推出A、B、C、D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：满意一般不满意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%
4、50%0D套餐40%20%40%（）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率16等差数列的前n项和为，且满足，（）求数列的通项公式；（）设，数列的前n项和为，求证：17如图（1）在矩形ABCD中，AB5，AD2，点E在线段AB上，且BE1，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCDE，如图（2）（）求证：CE平面A1DE；（）求证：A1DA1C；（）线段A1C上是否存在一点F，使得BF平面A1DE？说明理由18已知函数（e为自然对数的底数）（）当a2时，求
5、曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）已知函数在x0处取得极小值，不等式的解集为P，若，且，求实数m的取值范围19已知椭圆C：上顶点为A，右顶点为B，离心率，O为坐标原点，原点到直线AB的距离为（）求椭圆C的标准方程；（）直线与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足求EPF面积的最大值及此时的2018-2019学年北京二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的，共8小题，每小题5分，共40分。请将答案填涂在机读卡上。)1【分析】先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：，或；故选：D【点评】考查描
6、述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算2【分析】据指数函数的性质知，可判断A的真假，取当时，可判断B的真假；根据当x10时，可判断C的真假；解不等式可判断D的真假，进而得到答案【解答】解：根据指数函数的性质知，当时，故A中“，”为真命题；当x2时，故B中“，”为假命题；当x10时，故C中“”，故C为真命题；当x4时，故D为真命题；故选：B【点评】本题考查的知识点是全（特）称命题的真假判断，要判断一个全称命题为假命题，只须举出一个反例，但要判断一个全称命题为真命题，则需要严谨的论证3【分析】先用等差数列的求和公式表示出和，进而根据，求得d【解答】解：，d2故选：C【点评】本题
7、主要考查了等差数列的性质属基础题4 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出的值【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：是否继续循环 i T S循环前/1 0 0第一圈 是 2 1第二圈 是 3 2第三圈 是 4 3第四圈 是 5 4第五圈 否即T4时退出循环故继续循环的条件应为：故选：B【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误5【
8、分析】根据定义域、零点个数、单调性和极限等方面逐个判断即可【解答】解：对于A，当时，不符合题意；对于B，令得，即有两个零点，不符合题意；对于D，的定义域为，不符合题意；故选：C【点评】本题考查了函数图象的意义，函数单调性、零点个数的判断，属于中档题6【分析】由已知先求得的值，从而确定解析式，根据图象变换规律求出平移后的解析式，由已知可解得：，从而得解【解答】解：函数的最小正周期为，解得，将的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为：所得函数为偶函数，可解得：当k0时，故选：D【点评】本题主要考查了三角函数求值，函数的图象变换规律，属于基本知识的考查7【分析】由题意，当时，x1是函数的一个零点
9、；故当时，恒成立；从而解出a，从而确定选项【解答】解：当时，x1是函数的一个零点；故当时，恒成立；即恒成立，故；故选：A【点评】本题考查了函数的零点与函数的关系，属于基础题8 【分析】分别对四个函数进行分析，对于（1）中的函数，取直线与即可，对于（3）中的函数，可取直线：yx和，即可对于（2）、（4）中的函数，根据其函数图形的特殊性可观察得解【解答】解：对于（1）中的函数，当时，及，取直线与即可，故函数是在上通道宽度为1的函数对于（2）中的函数，当时，可知，不存在距离为1的两条平行直线和使得恒成立，故函数不是在上通道宽度为1的函数对于（3）中的函数，当时，函数的图象表示的时双曲线在第一象限的图
10、象，其渐近线为；yx，可取直线：yx和，则有在恒成立故函数是在上通道宽度为1的函数，对于（4）中的函数设显然不恒成立，即不存在距离为1的两条平行直线和使得恒成立，故函数不是在上通道宽度为1的函数故选：A【点评】本题考查了直线的一般方程与直线的性质，考查了函数图象的性质，该题综合性较强二、填空题（共5小题，每小题5分，共30分)9【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：，令，解得：，故答案为：【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题10【分析】先根据求出y的值，再算出进行求模运算【解答】解：，y4故答案为：【点评】本题主要考查共线向
11、量的性质和向量模的运算基础题11【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据指数函数的单调性利用图象找出最优解，计算目标函数的最大值【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；设，则直线过点P时，t的值最小，此时z取得最大值；由，得；的最大值是故答案为：【点评】本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题12 【分析】由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，即可求出它的体积、四棱锥侧面中最大侧面的面积【解答】解：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，PAD是边长为1的等边
12、三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，所以四棱锥的体积为，四棱锥侧面中最大侧面是PBC，PBPC，BC1，面积是故答案为：；【点评】本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直和面面垂直的判断，考查学生的推理能力13 【分析】，累加求和可得，同理可得：，即可得出【解答】解：，同理可得：，第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；，第2013棵树种植点的坐标应为（3，404）故答案为：（1，2）；（3，404）【点评】本题考查了数列通项公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1
13、4 【分析】（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得结合，可求，进而可求A的值（2）由已知利用三角形面积公式可求bc4利用余弦定理可求bc4，联立解得b，c的值即可得解【解答】解：（1），（2）ABC的面积为，bc4由a2，及，得，又bc4，bc2故其周长为6【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题15【分析】（I）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，其中选A款套餐的学生为40人，由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取的人数（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5其中不满意的人数分别为1，1，0，2个，做出所有的事件和满足条件的事件数，得到概率【解答】解：（）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，（1分）其中选A款套餐的学生为40人，（2分）由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了份（4分）设事件M“同学甲被选中进行问卷调查”，则（6分）答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是0.1
