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1、西南大学 硕士学位论文 连续时间对偶加权Markov分支过程 姓名：蔡雨 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：李扬荣 20090401 西南大学硕士学位论文中文摘要 连续时间对偶加权M a r k o v 分支过程 学科专业： 研究方向： 指导老师： 研究生： 应用数学 应用泛函分析 李扬荣教授 蔡雨( 1 1 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 5 1 ) 摘要 历年来，经过众多数学家们的悉心研究，M a r k o v 过程理论已经成为了一个 较为完善的普遍性理论体系在长期的研究过程中，科学家们不仅得到了大量具 有实际价值的理论结果，还使得研究方法日益丰富和多样化本文定义
2、了一类新 的M a r k o v 过程一对偶加权M a r k o v 分支过程( 简称对偶加权分支过程) ，并着力 于使用分析的方法来讨论这一过程的一些基本性质 众所周知，分支过程的理论及其应用在随机过程中扮演着重要的角色。具有代 表性的文献有H a r r i s ( 1 9 6 3 ) 、A t h r e y a 和N e “1 9 7 2 ) 、A s m u s s e 和H e r i n g ( 1 9 8 3 ) 由 上述文献知，普遍的( 一维) M a r k o v 分支过程足在状态空间E = 4 = o ，1 ，2 ，) 上的连续时间M a r k o v 链，它的发
3、展机能足由它的独立性质( 即分支性质) 所控制， 也就足不同的粒子出生和死亡的时候都足独立的但是，大多数现实情况下，以 上这种独立性质并不那么适用特别是在实际操作中，出生和死亡通常足相互作 用的这也就足人们为什么总足以极大的兴趣致力于研究更广义的分支过程的原 因特别地，文献 2 】中定义的加权M a r k o v 分支过程( 简称加权分支过程) 就 屉一类广义的分支过程当权W n = n 时，易见加权分支过程就足普通的分支过 程本文就是在加权分支过程和其q 一矩阵的基础上定义了一类新的分支过程一 对偶加权分支过程及其q 一矩阵一对偶加权分支q 一矩阵随后，刻画了这类过程 的存在唯一性、正则性
4、、F e l l e r 性、常返性和强遍历性等主要结论如下t 定义2 1 1( 对偶加权分支q 一矩阵) 以可数集E = 4 = o ，1 ，2 ，为状 态空间，一个q 矩阵Q = ( q i j ；i ，J E ) 称为对偶加权分支q 一矩阵，如果 西南大学硕士学位论文中文摘要 = 黟篇一“ 其中0 a l o o ，0 a j + l a j 。O 1 ) ， w j + l ( j 1 ) 我们简称其为对偶加权q 一矩阵 i J J = i i = J 一1 ，J i 其它 0 d o o ，并且0 = W O w j 定义2 1 2( 对偶加权分支过程) 以可数集E = 4 芦 o
5、，1 ，2 ，) 为状态空 问，一个在状态空间E 内的连续时间M a r k o v 链为对偶加权分支过程，如果它的 转移函数P ( t ) = p t j ( t ) ；v t 0 ，i ，J E 满足K o l m o g o r o v 前向方程，即 P ( t ) = P ( t ) Q 其中Q 为对偶加权q 一矩阵 定理3 1 1 若矩阵Q 为对偶加权q 一矩阵，则有； ( 1 ) Q 是对偶的； ( 2 ) Q 足随机单调的； ( 3 ) 当a o o ：= l i m 。a 。= 0 时，Q 足F e l l e r 的；当a o o 0 时，Q 不F e l l e r 定理3
6、 1 2 定义m ：= k ( a k a k + 1 ) 及数列 n J a i + 1 ；J l 生成函数 令q 为B ( s ) = 0 在【o ，1 】上的最小根，令矩阵Q 为对偶加权q 一矩阵，则有 ( 1 ) 如果壶= 。o ，Q 正则； t l = l ( 2 ) 如果E 击 d 且丽 百1 ，Q 正则； ( 3 ) 如果砑1 o 。，仇d 且面 1 ，Q 正则， 其中面= l i ms u p 妒西鬲 定理3 2 2 令F ( t ) 为对偶加权q 一矩阵的最小Q 一函数，有 ( 1 ) 当a o o = 0 时，以下结论成立t ( n ，邑击= 。且m o o ，则F ( )
7、 对偶； ( 1 1 ) ，邑击 0 时，则F ( t ) 不对偶 + 七 S + 七 。一 七 n M + Sd + n d I S口 定理3 3 1 令F ( t ) 为对偶加权q 矩阵的最小Q 一函数，F ( ) 足唯一Q 一函 数如果； ( 1 ) 登击= o 。且m 0 0 ；或者 ( 2 ) 硼I _ L 。 o 。， m d 且面 1 定理4 1 1 若对偶加权口一矩阵Q 正则，对偶加权分支过程常返当且仅当 日：F 凰= o o ， 其中定义为凰= 1 且有 叫r c n 一件l 研_ l 巩= 丛1 磊- 一 定理4 1 2如果曼击：o o 且d m ，或者萎上 、d m 且定
8、理 如果E 击一o o 且 m ，或者土 、d m 且n ： n = l - - I t o n 丽 j ，则对偶加权分支过程在状态空间E 中正常返且其不变分布为 7 k = ( 1 一q ) q “，仃0 其中q 为B ( s ) = 0 在区间( o ，1 ) 上的根 定理5 1 1 如果量击：。o 且d m o c ，或者墨赤 。、d 仇o o定理 如果，圣击= 。o 且d m o c ，或者，旨赤 。、d 仇s o o n = l 一一 且面 ，则对偶加权分支过程遍历特别有遍历极限 乃= ( 1 一q ) q 3 ，歹E 其中0 q 0 时，F ( t ) 强遍历若： ( 1 ) 击=
9、 。； ( 2 ) o o l 赤, - 7 - d 且面 ； ( 3 ) 击 。o ， m d 且面 l - 定理5 1 3 令臼为对偶加权q 一矩阵，当n 。= 0 ，最小Q 一函数F ( ) 足强 遍历转移函数若 ( 1 ) 登去= o 。且m = 。；或者 T I T 西南大学硕十学位论文中文摘要 性 ( 2 ) o o 土t o n d 且面 1 口( 2 ) 土 且面 歹 i = J i = J 一1 ，歹1 o t h e r w i s e w h e r e0Sa k + lSa k 0 ，a n d 0 = W 0 2 吩 屿+ 1 G 1 ) D e f i n i t
10、i o n2 1 2Ad u a lw e i g h t e dM a o k o vb r a n c h i n gp r o c e s s e s ( D W M B P s ) i sa E v a l u e dc o n t i n u o u st i m eM a r k o vc h a i nw h o s et r a n s i t i o nf u n t i o nP ( t ) = 0 巧( t ) 汜J E ) s a t i s f i e st h eK o l m o g o r o vf o r w a r de q u a t i o n s P
11、，( ) = P ( t ) Q ， w h e r eQi sad u a lW B - q - m a t r i xa si n( 1 ) T h e o r e m3 1 2D e f i n em ：= k ( a k a k + 1 ) a n dg e n e r a t i n gf u n c t i o nB ( 8 ) = k = l d 一( a l + d ) 8 + ( a k o 七+ 1 ) s 知+ 1b y 0 J a j + l ；歹1 ) L e tqi st h em i n i m a lr o o to f B ( s ) = 0i n 【o ，1
12、 】，t h e n ( 1 ) I f ( 2 ) I f ( 3 ) I f E 击= ，Q i sr e g u l a r ； E 击 da n d 面 百1 ，Qi sr e g u l a r ； E 击 ，m da n d 丽 1 ，Q i sr e g u l a r ， n = 1 w h e r e 面= l i m t l 。s u p 萄j ：石 T h e o r e m3 2 2L e tF ( t ) b et h em i n i m a lQ f u n c t i o no fd u a lw e i g h t e db r a n c h i n g q
13、 - m a t r i x ，t h e n ( 1 ) I fo 。= 0 ： ( i ) 击= 。oa n d 仇 0 0 ，F ( t ) i sd u a l ； ( i i )击 0 ，F ( t ) i sn o td u a l T h e o r e m3 3 1L e tF ( t ) b et h em i n i m a lQ f u n c t i o no fd u a lw e i g h t e db r a n c h i n g q - m a t r i x ，t h e nF ( t ) i st h eo n l yo n ei f ( 1 ) 。o
14、n ：1 击= 。a n dm o o ；o r ( 2 ) 三击 。，m da n d 面 0 ，F ( t ) i ss t r o n ge r g o d i c i t y ，i f 击= 。o ；o r r $ - = - 1 黑1 击 da n d 面 ；o r 嘉1 击 o o ，m da n d 面 1 T h e o r e m5 1 3L e tQb et h ed u a lw e u g h t e db r a n c h i n gq - m a t r i x ，F ( t ) i ss t r o n g e r g o d c i t yi f a = 0a
15、 n d ( 1 ) E 去= o o a n dm = 。o ；o r n = 1 da n d 面 0 时，有 P r x ( t ，。+ 1 ) = j X ( t 。) = i ，X ( t 。一1 ) = i n - x ，x ( t 1 ) = 1 ) = p r x ( t 。+ 1 ) = j X ( t 。) = i ) 2 西南大学硕士学位论文第1 章引言与文献综述 此等式称为M a r k o v 性质如果对于s ，t 满足0 8 t 及任意t ，J E ，条件概 率B x ( t ) = j I x ( s ) = i ) 只依赖于t 一8 而与8 ，t 无关，则称随机过程 x ( ) ；t o ， 足齐次M a r k o v 链此时异_ 【x ( t ) = j l X ( 8 ) = i ) = B x ( 一s ) = j l X ( O ) = i ) 称 P i j ( t ) = 只 x ( ) = j l X ( O ) = i ) V i ，J E ，t 0 为该随机过程的转移函数 定义1 3 2 ( 见【1 】)( 标准转移函数) 设可
