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1、第二章 Z变换 讨论z变换的目的： w离散系统可以用差分方程表示： 在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器 ，要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接 解起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化 为代数方程代数方程，使求解过程简化。 LT微分方程 wZ变换的表示： 2.1 Z变换 双边z变换： 单边z变换： Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部 为纵坐标，可以构成一个z平面 2.2 收敛域 1、定义： 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。 2、收敛条件：（级数的收敛条件） X(z)收敛的充要条件是绝对可和。 一、有限长序列 w 例1：求序列 的Z变换及收
2、敛域。 收敛域为： w例2：求序列 的Z变换及收敛域。 解： 其收敛域应包括 即充满整个Z平面。 零极点 为有理分式， D(z)=0的根称为z变换的极点， N(z)=0的根称为z变换的零点。 极点与收敛域的关系关系： 收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛 边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单 根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为 复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤 波器设计只考虑单根的情况。 二、右边序列 例3：求序列 的Z变换及收敛域。 Zu(n)的极点为1，零点为0 收敛域为|z|1 w零极相消 例： 零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。 另： w 例
3、4：求序列 的Z变换及收敛域。 当时，这是无穷递缩等比级数。 解：解： w 例5：求序列 的Z变换及收敛域。 三、左边序列 左边圆内左边圆内 右边圆外右边圆外 四、双边序列 w例6：，|a|1 双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。 |a|z|1/|a| w课本P27表2.1 作业2.1(2)(6) 2.3 z变换性质1 一、线性一、线性: : 二、时移：二、时移： Za1x1(n)+a2x2(n)=a1Zx1(n)+a2Zx2(n) Zx(n)=X(z)Zx(n-m)=z-mX(z) 意义：z-1：单位延迟器 z变换性质2 三、时域卷积： 系统函数： 2.4 z反变换
4、w w 部分分式法：部分分式法： 再利用已知的z变换： X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、D(z) 一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形式 结合收敛域写出反变换： w需要注意的问题： 极点极点zk，为D(z)=0的根 利用已知z变换时，注意收敛域收敛域 计计算系数系数Ak时，要写成： w例2-4-1： （在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式） w w 配分法：配分法： w 求系数Ak w例2-4-2： 利用z变换的时移性质： 令： 则： 长除法-原理 即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边
5、序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z + 2 4 131 16 451 64 . 16 Z 16 Z - 4 Z 2 4 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2 23 3 31 4 1 4 1 4 4 4 4 1 16 5 5 1 16 长除法-例子 为了得到z的正次幂的多项式，将除数和被除数按z的升幂排列 Z- ) Z 1 4 1+ Z + Z + Z 1 4 -1 1 16 -2 1 64 -3. Z- 1 4 1 4 1 4 - Z 1 16 -1 Z 1 16 -1 Z 1 16 -1 - Z 1 64
6、-2 Z 1 64 -2 Z 1 64 -2 - Z 1 256 -3 Z 1 256 -3 . 为了得到z的正次幂的 多项式，将除数和被 除数按z的升幂排列 极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现 例： 因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现 作业2.3 2.5 Z变换与Laplace变换、序列的 傅里叶变换的关系 LT主要问题：收敛域、极点、反变换 常用的LT： 一、 Z变换与Laplace变换的关系 利用LT可以得到连续系统的一些性质，利用z变换 可以得到离散系统的系统函数，而在设计数字滤 波器时可以先设计AF，再通过代换得到DF,所以 AF和DF的
7、关系就可从LT与z变换的关系得到。 wS平面与Z平面的映射关系 连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为 抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系映射关系为： （主要应用于AF到DF转换） 将s平面用直角坐标表示： ， 横坐标为，纵坐标为模拟角频率； 将z平面用极坐标表示： ， 横坐标为实轴，纵坐标为虚轴； 两平面都是复平面复平面。 =0,即S平面的虚轴r=1,即z平面单位圆； 1,即z的单位圆外 。 w (1)r与的关系 r0，0时， ，0，即z平面的原点映射 到s平面的实轴上负无穷远处。 j 00 = T,从， 所以在一个周期内：为/T/T
8、w (2)与的关系（=T） 的取值范围是从-（负频端无意义，只是 用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值 关系，所以要把限制在一个周期一个周期内。 =0，S平面的实轴， =0，z平面正实轴； =0(常数)， S：平行实轴的直线， = 0T, z：始于原点的射线； jImZ ReZ 0 ReZ w二、Z变换与FT的关系 傅里叶变换是拉氏变换在s平面的虚轴上的 特例，由于s平面的虚轴映射到z平面的单位 圆上，因此抽样序列在单位圆上的z变换就 是它的傅里叶变换。 各个变换的关系： X(S)X(S) X(z)X(z) X(jX(j) ) X(eX(ej j
9、 ) ) z=z=e esT sT = =T T z=z=e ej j s=js=j 系统函数系统函数 连续：连续： L Lh(t)h(t) 离散：离散： Z Zh(t)h(t) 模拟：模拟：x x( (t t) ) 频率响应频率响应 数字：数字：x x( (n n) ) t t= =nTnT s s 2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应 一、离散系统的系统函数 1、差分方程和系统函数的关系 系统的差分方程为： 对方程两边做z变换，得： 整理得系统函数为： 2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系 当输入x(n)=(n)时，输出y(n)称为单位抽样 响应h(n)。 3、注意的问题：系统的稳定性和因果性 a、从系统的单位抽样响应分析： 对于线性移不变系统，若nR)，所以H(z)的收敛域为收敛圆外部 区域时，系统为因果系统； 若当z=1时H(z)收敛 即当z=1时系统稳定，即当H(z)的收敛域包括单 位圆时，系统稳定 二、离散系统的频率响应： 即单位抽样响应h(n)的傅里叶变换 也是系统函数H(z)在单位圆上的值 H(e j)=H(z)|z=e j 作业2.4，2.6
