《高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 两角差的余弦函数 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 两角差的余弦函数 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2 北师大版必修4（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 两角和与差的三角函数 3.2.1 两角差的余弦函数 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 【知识识提炼炼】 两角和与差的正弦、余弦函数 名称 公式 简记 差的正弦 sin(-)= _ S- 差的余弦 cos(-)= _ C- sin cos -cos sin cos cos +sin sin 名称 公式 简记 和的正弦 sin(+)= _ S+ 和的余弦 cos(+)= _ C+ sin cos +cos sin cos cos -sin sin 【即时时小测测】 1.思考下列问题问题 : (1)cos 60-cos 30=cos(60-30)成立吗吗? 提示:不成立. (2)cos
2、-cos=cos(-)成立吗吗? 提示:不一定. (3)两角和与差的正弦、余弦公式与诱导诱导 公式有什么关系? 提示:和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式的特例. 如sin(2-)=sin2cos-cos2sin=0cos-1sin= -sin.当或中有一个角是 的整数倍时,通常使用诱导公式较 为方便. 2.cos(-15)的值值是 ( ) 【解析】选C.cos(-15)=cos(30-45)=cos 30cos 45+ sin 30sin 45= 3.化简简cos(45-)cos(+15)-sin(45-)sin(+15)的结结 果为为 ( ) 【解析】选A.原式=cos（45-
3、）+（+15）=cos 60= . 4.sin 14cos 16+sin 76cos 74=_. 【解析】原式=sin 14cos 16+cos 14sin 16 =sin(14+16)=sin 30= . 答案: 5.cos 165=_. 【解析】cos 165=cos(45+120)=cos 45cos 120- sin 45sin 120= 答案:- 【知识探究】 知识识点 两角和与差的正弦、余弦公式 观观察如图图所示内容,回答下列问题问题 : 问题问题 1:两角和与差的正弦、余弦公式各有什么特点? 问题问题 2:根据公式C的识记规识记规 律,你能总结总结 出公式S的记忆规记忆规 律吗吗
4、? 【总结总结 提升】 1.公式的记忆记忆 (1)对对于两角和与差的余弦公式C可以简记为简记为 :“余余正正,和差 相反”. (2)对对于两角和与差的正弦公式S可以简记为简记为 :“正余余正,和差 相同”. 2.公式的适用条件 公式中的,不仅仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团团体”,如 cos 中的“ ”相当于公式中的角“”,“ ” 相当于公式中的角“”.因此对对公式的理解要注意结结构形式,而不要 局限于具体的角. 3.公式的作用 (1)正用:把sin(),cos()从左向右展开. (2)逆用:公式的右边边化简简成左边边的形式.当结结构不具备备条件时时,要用 相关公式调节调节 后再逆用.
5、(3)变变形应应用:它涉及两个方面,一是公式本身的变变用;二是角的变变用, 也称为为角的拆分变换变换 ,如=(+)-,2=(+)+(-). 【题型探究】 类类型一 给给角求值问题值问题 【典例】1.cos 105+sin 195的值为值为 _. 2. 的值为值为 _. 【解题题探究】1.典例1中105与195的关系是什么? 提示:195=105+90. 2.典例2中如何处处理20? 提示:20=30-10. 【解析】1.cos 105+sin 195=cos 105+sin(90+105) =cos 105+cos 105=2cos 105=2cos(135-30) =2(cos 135cos
6、 30+sin 135sin 30) 答案: 2.原式= 答案: 【方法技巧】解决给给角求值问题值问题 的策略 解这类题这类题 目的关键键是将非特殊角转转化为为特殊角,充分地拆角、凑角 转转化为为角的正弦、余弦、正切公式,同时时灵活运用两角和与差的正弦 、余弦及正切公式. 【变变式训练训练 】(2015全国卷)sin20cos10-cos160sin10 =( ) 【解题指南】由cos160=-cos20,利用两角和的正弦公式求解. 【解析】选D.原式=sin20cos10+cos20sin10 =sin30= . 【补偿训练补偿训练 】sin 347cos 148+sin 77cos 58的
7、值为值为 _. 【解析】原式=sin(-13+360)cos(180-32)+ sin 77cos 58 =sin(-13)(-cos 32)+sin 77cos 58 =-sin 13(-cos 32)+sin 77cos(90-32) =cos 77cos 32+sin 77sin 32=cos(77-32) =cos 45= . 答案: 类类型二 给值给值 (式)求值值 【典例】1.已知 则则cos =_. 2.已知 求sin 的值值. 【解题题探究】1.典例1中sin的值值是什么? 提示:由 2.典例2中+ 与已知+,- 的关系是什么? 提示:观察发现 【解析】1.因为 所以 答案:
8、2.因为 故 所以 【延伸探究】 1.(改变问变问 法)典例2中条件不变变如何求 的值值? 【解析】由典例2解析知 又 2.(改变问变问 法)典例2中条件不变变如何求cos2的值值? 【解析】由典例解析知 又 所以 由【延伸探究】1知, 【方法技巧】给值给值 (式)求值值的策略 解决这类问题这类问题 的关键键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的 运算关系,具体有以下几种情况: (1)当“已知角”有两个时时,“所求角”一般表示为为两个“已知角” 的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时时,此时应时应 着眼于“所求角”与“已知角” 的和或差的关系,然后应应用诱导诱导 公式把“所求角”变变成
9、“已知角”. 【补偿训练补偿训练 】已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a-b|= ,求cos(-). 【解析】因为a=(cos,sin),b=(cos,sin), 所以a-b=(cos-cos,sin-sin).因为|a-b|= , 所以 所以2-2cos(-)= .所以cos(-)= . 类类型三 辅辅助角公式的应应用 【典例】1.函数f(x)=(1+ tanx)cosx的最小正周期为为( ) A.2 B. C. D. 2. 的值值是_. 【解题题探究】1.典例1中求f(x)的最小正周期的关键键是什么? 提示:关键是利用三角变换公式将f(x)化成Asin(x+)的形式
10、. 2.典例2中哪一个角的 提示:=60. 【解析】1.选A.f(x)= 所以最小正周期T= =2. 2.原式=cos 60cos 15+sin 60sin 15 =cos(60-15)=cos 45= . 答案: 【延伸探究】若典例1中函数f(x)变为变为 “f(x)= ”, 则则最小正周期如何? 【解析】f(x)= 所以最小正周期T= =. 【方法技巧】asinx+bcosx的化简简步骤骤 (1)提常数,即把asinx+bcosx提出 得到 (2)定角度,由 我们们不妨设设 sin= ,则则得到 (cossinx+sincosx). (3)化简简,逆用两角和的正弦公式可得asinx+bco
11、sx= sin(x+). 【变变式训练训练 】(2015四川高考)sin15+sin75的值值是_. 【解析】sin15+sin75 =sin15+cos15= sin(15+45)= 答案: 【补偿训练补偿训练 】1.求y= 的最大值值和周期. 【解题指南】把函数的解析式化为y=Asin(+)的形式,然后求其 最大值和周期. 【解析】y= 当 (kZ)时, 所以函数的最大值是 ,周期为. 2.函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是_. 【解析】f(x)= 最小正周期是2. 答案:2 3.函数y=2sinx-cosx的最大值为值为 _. 【解析】y=2sinx-cosx= = sin(x-)(其中 ). 当sin(x-)=1时,ymax= . 答案: 易错错案例 求三角函数的值值 【典例】在三角形ABC中, 则则cosC=_. 【失误误案例】 【错错解分析】分析上面的解析过过程,你知道错错在哪里吗吗? 提示:错误的根本原因是忽视角的范围导致错误,实际上本题中由 cosB=- 可知B为钝角,则角A为锐角,故cosA的值是正值. 【自我矫正】因为cosB=- ,所以B为钝角, 所以sinB= 所以A为锐角,cosA= 又C为锐角,则cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB = 答案:
