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1、全等三角形（1） 北京四中：李岩 知识要点 1、全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等 三角形。互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫 对应边，互相重合的角叫对应角。 2、全等三角形的对应边相等，对应角也相等。 3、找全等三角形对应元素的方法： （1）对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边； （2）从运动的角度出发，如果两个三角形通过平移、翻转、 旋转等变换后能够完全重合，那么重合的部分即为对应元素； （3）两个全等三角形的公共边、公共角、有公共顶点的 对顶角通常为对应元素。 4、全等三角形的判定 （1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等。 （2）SAS：有两边及其夹角对应
2、相等的两个三角形相等。 （3）ASA：有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等。 （4）AAS：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等。 例1、如图，ABC中，AB=AC，M为BC中点， 求证：AMBC A BCM 证明：M为BC中点， = 在ABM和 中， （ ） =AMC +AMC=180， AMC= AMBC 例1、如图，ABC中，AB=AC，M为BC中点， 求证：AMBC A BCM 证明：M为BC中点， BM = CM 在ABM和 ACM 中， ABM ACM （ SSS ） AMB =AMC AMB +AMC=180， AMC= 90 AMBC 例2、如图，AB=
3、CD，AD=BC，求证：B=D A BC D 例2、如图，AB=CD，AD=BC，求证：B=D A BC D 例2、如图，AB=CD，AD=BC，求证：B=D A BC D证明：连结AC， 在ABC和CDA中， ABCCDA（SSS） B=D 例2、如图，AB=CD，AD=BC，求证：B=D A BC D证明：连结AC， 在ABC和CDA中， ABCCDA（SSS） B=D 发展：同理可得，BAD=BCD， DAC=ACB，进而AD/BC，同理AB/CD 例3、如图，AB=CD，DE=AF，CF=BE，AFB=80 ，D=60，求B AB CD E F 例3、如图，AB=CD，DE=AF，CF
4、=BE，AFB=80 ，D=60，求B AB CD E F 解：CF=BE， CF+EF=BE+EF，即 CE=BF 在ABF和DCE中， ABFDCE（SSS） A=D D=60，A=60 AFB=80，AFB+A+B=180， B=40 例4、已知，如图，AD=AE，1=2，BD=CE， 求证：ABEACD A BCDE 12 例4、已知，如图，AD=AE，1=2，BD=CE， 求证：ABEACD A BCDE 12 证明：ADC+1=180， AEB+2=180，1=2， AEB=ADC BD=CE， BD+DE=CE+DE，即BE=CD 在ABE和ACD中， ABEACD（SAS） 例
5、5、已知，如图，ADAB，AD=AB，AEAC， AE=AC，求证：CD=BE A BC D E 例5、已知，如图，ADAB，AD=AB，AEAC， AE=AC，求证：CD=BE A BC D E 分析：只需证ACD AEB， 而AD=AB，AE=AC，只需证它们的 夹角DAC与BAE相等即可 例5、已知，如图，ADAB，AD=AB，AEAC， AE=AC，求证：CD=BE A BC D E 证明： ADAB，AEAC， DAB=CAE=90 DAB+BAC=CAE+BAC 即DAC=BAE 在ACD和 AEB中 ACD AEB（SAS） CD=BE 例6、已知，如图，M是BC上的一点，且CF
6、AM于F， BEAM于E，CF=BE，求证：AM是ABC的中线 B C M F E A 例6、已知，如图，M是BC上的一点，且CFAM于F， BEAM于E，CF=BE，求证：AM是ABC的中线 B C M F E A 分析：要证AM是ABC的中线， 即BM=CM， 只需证，BEMCFM 知道BE=CF，BME=CMF， BEM=CFM=90，得证 例6、已知，如图，M是BC上的一点，且CFAM于F， BEAM于E，CF=BE，求证：AM是ABC的中线 B C M F E A 证明： CFAM于F，BEAM于E， BEM=CFM=90 在BEM和CFM中， BEMCFM（AAS） BM=CM，即
7、AM是ABC的中线 例7 、已知，如图，CDAB于D，BEAC于E，BE、CD 交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC A BC DE O 例7、已知，如图，CDAB于D，BEAC于E，BE、CD 交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC A BC DE O 分析：要证OB=OC， 只需证AOBAOC 而AO=AO， BAO=CAO， 只需证B=C，或AOB=AOC, 或AB=AC 例7、已知，如图，CDAB于D，BEAC于E，BE、CD 交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC A BC DE O 证法1： AO平分BAC，BAO=CAO CDAB于D，BEAC于E， AOD+
8、BAO=90 ,AOE+CAO=90 AOD =AOE BOD=COE AOD+BOD=AOE+COE，即AOB=AOC 在AOB和AOC中 AOBAOC（ASA） OB=OC 例7、已知，如图，CDAB于D，BEAC于E，BE、CD 交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC A BC DE O 证法2： CDAB于D，BEAC于E， C+CAD=90 ，B+CAD=90 B =C AO平分BAC， BAO=CAO 在AOB和AOC中 AOBAOC（AAS） OB=OC 例8、已知，如图，AD/BC，AB/CD，MN=PQ， 求证：DE=BE 分析：可以先证DPM ， 得出 = ， 则DP
9、E ， 从而DE=BE A B C D E P Q M N 例8、已知，如图，AD/BC，AB/CD，MN=PQ， 求证：DE=BE 分析：可以先证DPM BNQ ， 得出 DP = BN ， 则DPE BEN ， 从而DE=BE A B C D E P Q M N 例8、已知，如图，AD/BC，AB/CD，MN=PQ， 求证：DE=BE 证明： AD/BC M=Q 同理可得，1=2，3=4 MN=PQ， MN+NP=PQ+NP，即MP=NQ 在DPM和BNQ中， DPMBNQ （ASA） DP=BN 1 24 3 3 A B C D E P Q M N 例8、已知，如图，AD/BC，AB/C
10、D，MN=PQ， 求证：DE=BE 证明： AD/BC M=Q 同理可得，1=2，3=4 MN=PQ， MN+NP=PQ+NP，即MP=NQ 在DPM和BNQ中， DPMBNQ （ASA） DP=BN 1 24 3 3 A B C D E P Q M N 在DPE和BEN中， DPEBEN（ASA） DE=BE 习题： 1、如图， ，要使 ，请你增加 一个条件是 （只需要填一个你认为合适的条件） （第1题） （第2题） 2、如图所示，点F、C在线段BE上，且1=2，AC=DF， 若使ABCDEF，则需补充一个条件是 . A B C D E A BC D EF 1 2 习题： 1、如图， ，要使
11、 ，请你增加 一个条件是 B=C （只需要填一个你认为合适的条件） （第1题） （第2题） 2、如图所示，点F、C在线段BE上，且1=2，AC=DF， 若使ABCDEF，则需补充一个条件是 BC=EF . A B C D E A BC D EF 1 2 3、如图，ABC中，AB=AC，BD平分ABC， E为BC上一点，A与DEC互补，若BC=11cm， 则DEC周长为 A BC D E 3、如图，ABC中，AB=AC，BD平分ABC， E为BC上一点，A与DEC互补，若BC=11cm， 则DEC周长为 11cm A BC D E 4、如图，1=2，CF=DE，AD=BC， 求证：A=B 5、已知，如图，AE=CF，AD/BC，AD=CB 求证：ADFCBE ABCD 1 2 E F A BC E F D 6、已知，如图，BC平分ABD，AB=DB，P为BC上 任意一点，求证：CAP=CDP 分析：要证CAP=CDP， 应先证ABC ， 得 ， ， 进而有ACP A B C D P
