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1、全等三角形(1) 北京四中:李岩 知识要点 1、全等三角形:能够完全重合的两个三角形,叫做全等 三角形。互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫 对应边,互相重合的角叫对应角。 2、全等三角形的对应边相等,对应角也相等。 3、找全等三角形对应元素的方法: (1)对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边; (2)从运动的角度出发,如果两个三角形通过平移、翻转、 旋转等变换后能够完全重合,那么重合的部分即为对应元素; (3)两个全等三角形的公共边、公共角、有公共顶点的 对顶角通常为对应元素。 4、全等三角形的判定 (1)SSS:三边对应相等的两个三角形全等。 (2)SAS:有两边及其夹角对应
2、相等的两个三角形相等。 (3)ASA:有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等。 (4)AAS:有两个角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等。 例1、如图,ABC中,AB=AC,M为BC中点, 求证:AMBC A BCM 证明:M为BC中点, = 在ABM和 中, ( ) =AMC +AMC=180, AMC= AMBC 例1、如图,ABC中,AB=AC,M为BC中点, 求证:AMBC A BCM 证明:M为BC中点, BM = CM 在ABM和 ACM 中, ABM ACM ( SSS ) AMB =AMC AMB +AMC=180, AMC= 90 AMBC 例2、如图,AB=
3、CD,AD=BC,求证:B=D A BC D 例2、如图,AB=CD,AD=BC,求证:B=D A BC D 例2、如图,AB=CD,AD=BC,求证:B=D A BC D证明:连结AC, 在ABC和CDA中, ABCCDA(SSS) B=D 例2、如图,AB=CD,AD=BC,求证:B=D A BC D证明:连结AC, 在ABC和CDA中, ABCCDA(SSS) B=D 发展:同理可得,BAD=BCD, DAC=ACB,进而AD/BC,同理AB/CD 例3、如图,AB=CD,DE=AF,CF=BE,AFB=80 ,D=60,求B AB CD E F 例3、如图,AB=CD,DE=AF,CF
4、=BE,AFB=80 ,D=60,求B AB CD E F 解:CF=BE, CF+EF=BE+EF,即 CE=BF 在ABF和DCE中, ABFDCE(SSS) A=D D=60,A=60 AFB=80,AFB+A+B=180, B=40 例4、已知,如图,AD=AE,1=2,BD=CE, 求证:ABEACD A BCDE 12 例4、已知,如图,AD=AE,1=2,BD=CE, 求证:ABEACD A BCDE 12 证明:ADC+1=180, AEB+2=180,1=2, AEB=ADC BD=CE, BD+DE=CE+DE,即BE=CD 在ABE和ACD中, ABEACD(SAS) 例
5、5、已知,如图,ADAB,AD=AB,AEAC, AE=AC,求证:CD=BE A BC D E 例5、已知,如图,ADAB,AD=AB,AEAC, AE=AC,求证:CD=BE A BC D E 分析:只需证ACD AEB, 而AD=AB,AE=AC,只需证它们的 夹角DAC与BAE相等即可 例5、已知,如图,ADAB,AD=AB,AEAC, AE=AC,求证:CD=BE A BC D E 证明: ADAB,AEAC, DAB=CAE=90 DAB+BAC=CAE+BAC 即DAC=BAE 在ACD和 AEB中 ACD AEB(SAS) CD=BE 例6、已知,如图,M是BC上的一点,且CF
6、AM于F, BEAM于E,CF=BE,求证:AM是ABC的中线 B C M F E A 例6、已知,如图,M是BC上的一点,且CFAM于F, BEAM于E,CF=BE,求证:AM是ABC的中线 B C M F E A 分析:要证AM是ABC的中线, 即BM=CM, 只需证,BEMCFM 知道BE=CF,BME=CMF, BEM=CFM=90,得证 例6、已知,如图,M是BC上的一点,且CFAM于F, BEAM于E,CF=BE,求证:AM是ABC的中线 B C M F E A 证明: CFAM于F,BEAM于E, BEM=CFM=90 在BEM和CFM中, BEMCFM(AAS) BM=CM,即
7、AM是ABC的中线 例7 、已知,如图,CDAB于D,BEAC于E,BE、CD 交于点O,且AO平分BAC,求证:OB=OC A BC DE O 例7、已知,如图,CDAB于D,BEAC于E,BE、CD 交于点O,且AO平分BAC,求证:OB=OC A BC DE O 分析:要证OB=OC, 只需证AOBAOC 而AO=AO, BAO=CAO, 只需证B=C,或AOB=AOC, 或AB=AC 例7、已知,如图,CDAB于D,BEAC于E,BE、CD 交于点O,且AO平分BAC,求证:OB=OC A BC DE O 证法1: AO平分BAC,BAO=CAO CDAB于D,BEAC于E, AOD+
8、BAO=90 ,AOE+CAO=90 AOD =AOE BOD=COE AOD+BOD=AOE+COE,即AOB=AOC 在AOB和AOC中 AOBAOC(ASA) OB=OC 例7、已知,如图,CDAB于D,BEAC于E,BE、CD 交于点O,且AO平分BAC,求证:OB=OC A BC DE O 证法2: CDAB于D,BEAC于E, C+CAD=90 ,B+CAD=90 B =C AO平分BAC, BAO=CAO 在AOB和AOC中 AOBAOC(AAS) OB=OC 例8、已知,如图,AD/BC,AB/CD,MN=PQ, 求证:DE=BE 分析:可以先证DPM , 得出 = , 则DP
9、E , 从而DE=BE A B C D E P Q M N 例8、已知,如图,AD/BC,AB/CD,MN=PQ, 求证:DE=BE 分析:可以先证DPM BNQ , 得出 DP = BN , 则DPE BEN , 从而DE=BE A B C D E P Q M N 例8、已知,如图,AD/BC,AB/CD,MN=PQ, 求证:DE=BE 证明: AD/BC M=Q 同理可得,1=2,3=4 MN=PQ, MN+NP=PQ+NP,即MP=NQ 在DPM和BNQ中, DPMBNQ (ASA) DP=BN 1 24 3 3 A B C D E P Q M N 例8、已知,如图,AD/BC,AB/C
10、D,MN=PQ, 求证:DE=BE 证明: AD/BC M=Q 同理可得,1=2,3=4 MN=PQ, MN+NP=PQ+NP,即MP=NQ 在DPM和BNQ中, DPMBNQ (ASA) DP=BN 1 24 3 3 A B C D E P Q M N 在DPE和BEN中, DPEBEN(ASA) DE=BE 习题: 1、如图, ,要使 ,请你增加 一个条件是 (只需要填一个你认为合适的条件) (第1题) (第2题) 2、如图所示,点F、C在线段BE上,且1=2,AC=DF, 若使ABCDEF,则需补充一个条件是 . A B C D E A BC D EF 1 2 习题: 1、如图, ,要使
11、 ,请你增加 一个条件是 B=C (只需要填一个你认为合适的条件) (第1题) (第2题) 2、如图所示,点F、C在线段BE上,且1=2,AC=DF, 若使ABCDEF,则需补充一个条件是 BC=EF . A B C D E A BC D EF 1 2 3、如图,ABC中,AB=AC,BD平分ABC, E为BC上一点,A与DEC互补,若BC=11cm, 则DEC周长为 A BC D E 3、如图,ABC中,AB=AC,BD平分ABC, E为BC上一点,A与DEC互补,若BC=11cm, 则DEC周长为 11cm A BC D E 4、如图,1=2,CF=DE,AD=BC, 求证:A=B 5、已知,如图,AE=CF,AD/BC,AD=CB 求证:ADFCBE ABCD 1 2 E F A BC E F D 6、已知,如图,BC平分ABD,AB=DB,P为BC上 任意一点,求证:CAP=CDP 分析:要证CAP=CDP, 应先证ABC , 得 , , 进而有ACP A B C D P