《2018届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 文 北师大版（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值 知识梳理双基自测231自测点评4 1.导函数的符号和函数的单调性的关系 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0 ,则在这个区间上, 函数y=f(x)是增加的; 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0. ( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小 值. ( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理双基自测自测点评23415 2.函数
2、y=f(x)的导函数f(x)的图像如图所示,则下面判断正确的是( ) A.在区间(-2,1)上f(x)是增加的 B.在区间(1,3)上f(x)是减少的 C.在区间(4,5)上f(x)是增加的 D.在区间(2,3)上f(x)不是单调函数 答案解析解析 关闭 因为导数大于0的区间是函数的递增区间,导数小于0的区间是函数的递减 区间,所以由图像可知在区间(4,5)上f(x)0,故f(x)在区间(4,5)上是增加的. 答案解析 关闭 C 知识梳理双基自测自测点评23415 3.(2016四川,文6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( ) A.-4B.-2C.4D.2 答案解析解析
3、关闭 f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2. 易得f(x)在(-2,2)上是减少的,在(-,-2),(2,+)上是增加的, 故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D. 答案解析 关闭 D 知识梳理双基自测自测点评23415 4.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增 函数,则实数a的取值范围为 . 答案解析解析 关闭 函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数, f(x)=3x2+2ax+30在R上恒成立, =4a2-360,解得-3a3. 答案解析 关闭 -3,3 知识梳理双基自测自测点评23
4、415 5.如图是f(x)的导函数f(x)的图像,则f(x)的极小值点的个数为 . 答案解析解析 关闭 由题意知,只在x=-1处f(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案解析 关闭 1 知识梳理双基自测自测点评 1.若函数f(x)在区间(a,b)上是增加的,则f(x)0;“f(x)0在(a,b)上 恒成立”是“f(x)在(a,b)上是增加的”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必 要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3 的极值点. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确
5、定时,需 要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极 小值之间没有必然的大小关系. 考点1考点2考点3 考向一 讨论函数的单调性或求单调区间 (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性. 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间? 考点1考点2考点3 考点1考点2考点3 令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 当x-4时,g(x)0,故g(x)是减少的; 当-4x0,故g(x)是增加的; 当-1x0,故g(x)是增加的. 综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内是减少的,在(-
6、4,-1)和(0,+)内是增 加的. 考点1考点2考点3 解题心得1.导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根 划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间 上的单调性. 2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当 f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上是增加的. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,
7、+). 综上可知,f(x)0,x(-,+). 故f(x)的递增区间为(-,+). 考点1考点2考点3 考向二 已知函数单调性求参数的取值范围 例2已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围. 思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么? 考点1考点2考点3 考点1考点2考点3 (2)因为f(x)在(-,+)上是增函数, 所以f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立, 即a3x2对xR恒成立. 因为3x20,所以只需a0, 即实数a的取值范围为(-,0. 解题心得已知函数单调性求参数的一般思路是转化为不等式的 恒成立问题,
8、即“若函数f(x)是增加的,则f(x)0;若函数f(x)是减少的, 则f(x)0”来求解. 考点1考点2考点3 对点训练2已知函数f(x)= -2x2+ln x,其中a为常数. (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间1,2上为单调函数,求a的取值范围. 解 (1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+ln x的定义域为(0,+), 当x(0,1)时,f(x)0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x是增加的. 当x(1,+)时,f(x)0时,函数f(x)在x=a处取得极 小值a-aln a,无极大值. 考点1考点2考点3 解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处
9、取得极值的充要条件是 f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是 单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在 此区间上一定没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程: 考点1考点2考点3 (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 考点1考点2考点3 令f(x)=0,解得x=-1或x=5. 由x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去. 当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,+)内是增加的. 由此可知函数f(x)在x=5时取得极小值f
10、(5)=-ln 5;函数f(x)没有极 大值. 考点1考点2考点3 (1)讨论f(x)的单调区间; (2)设g(x)=f(x)+2aln x,且g(x)有两个极值点为x1,x2,其中x10,e, 求g(x1)-g(x2)的最小值. 思考求函数的最值可划分为哪几步? 考点1考点2考点3 令f(x)=0得x2-ax+1=0. 当-2a2时,=a2-40,此时, f(x)0,且f(x)在(0,+)上的任意子区间内都不恒等于0,所以f(x) 在定义域(0,+)内是增函数; 当a0时,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,此时 ,f(x)0在(0,+)上恒成立,所以f(x)在定义域(0,+)上是
11、增函数; 考点1考点2考点3 当a2时,=a2-40,解x2-ax+1=0得两根为 考点1考点2考点3 考点1考点2考点3 解题心得求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最 小的一个为最小值. 考点1考点2考点3 对点训练4(2016河南焦作二模)设函数f(x)=ex-ax-2. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值. 解 (1)由题意知函数f(
12、x)=ex-ax-2的定义域是R,f(x)=ex-a. 若a0,则f(x)=ex-a0, 故函数f(x)=ex-ax-2在(-,+)上递增; 若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)=ex-a0; 因此,f(x)在(-,ln a)内是减少的,在(ln a,+)内是增加的. 考点1考点2考点3 (2)因为a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1. 由(1)知,当a=1时,函数f(x)=ex-x-2在(0,+)上是增加的, 而f(1)0, 所以f(x)=ex-x-2在(0,+)上存在唯一的零点, 故g(x)在(0,+)上存在唯一的零点. 设此零点为,则有(1,2).
13、 当x(0,)时,g(x)0; 所以g(x)在(0,+)上的最小值为g(). 又由g()=0,可得e=+2,故g()=+1(2,3). 由于式等价于kg(x0)成立,即f(x)-g(x)0 在x1,e时有解. 故(x)在1,e上是增加的, 即min(x)=(1)=0,因此a0即可.故选D. 典例3设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使 得f(x0)0,则a的取值范围是 ( ) 答案D 解析设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0,即为g(x)h(x). 因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1), 而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线. 如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像. 显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数解有无数多个. 函数g(x)=ex(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),
