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1、3 数学模型概述 3.1 数学模型的定义和分类 3.2 数学模型的建立 3.2.1建立数学模型的过程 3.2.2 对模型的基本要求 3.2.3 数学模型的验证和误差分析 3.3 Excel 在建立数学模型的应用 3.3.1 污水处理的线性回归分析 3.3.2 结构分析和曲线拟合 3.3.3 用Excel进行参数估计 3 数学模型概述 数学模型应用于科学技术的每一个领域，是一切数学模型应用于科学技术的每一个领域，是一切 科学技术部门的重要工具和手段，也是环境系统分析科学技术部门的重要工具和手段，也是环境系统分析 的基础。应用环境系统工程方法解决环境污染控制问的基础。应用环境系统工程方法解决环境污
2、染控制问 题时，一个重要的技术过程就是将所研究的环境系统题时，一个重要的技术过程就是将所研究的环境系统 行为抽象为数学模型，这是进行定量研究工作的基础行为抽象为数学模型，这是进行定量研究工作的基础 。 3.1 数学模型的定义和分类 系统的模型化是系统分析的基础，为了做好模型系统的模型化是系统分析的基础，为了做好模型 化工作，需要给模型一个确切的定义。如果一个事化工作，需要给模型一个确切的定义。如果一个事 物物 M M 与另一个事物与另一个事物 S S 之间，满足两个条件：之间，满足两个条件： 1. 1. M M 中包含有一些元素中包含有一些元素( (分量分量) )，每个元素，每个元素( (分量
3、分量) ) 分别对应和代表分别对应和代表S S 中的一个元素中的一个元素( (分量分量) )； 2.2. M M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种关中的上述分量之间应存在一定的关系，这种关 系可以用于与系可以用于与 S S 的分量间关系进行类比。的分量间关系进行类比。 我们则将事物我们则将事物 M M 称为事物称为事物 S S 的模型。从形式的模型。从形式 上看，模型可分成抽象模型和具体模型。上看，模型可分成抽象模型和具体模型。 图3-1 列出了抽象模型和具体模型的一些例子。 模型 图3.1 模型的形式 抽象模型 具体模型 数学模型:方程式,函数,逻辑式 图象模型:流程图,方向图,框图；
4、 计算机程序:计算程序,模拟程序 相似模型:(实物放大缩小) 建筑模型，风洞实验模型 模拟模型:电模拟模型 满足模型条件的数学表达式和算法叫做数 学模型. 其它定义： 1）数学模型（Mathematical Model），是根据对研究 对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映 其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算 法。用以描述和研究客观现象的运动规律。 2）数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依 存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一 种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出 来的某种系统的纯关系结构。 3）从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各 种公
5、式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型 抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一 门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指 那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关 系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变 量间内的关系的数学表达。 数学模型在环境影响评价中的应用 环境影响评价中的数学模型是应用数学语言和方法 来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生 物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学 方程。 它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过 实验或现场监测取得了大量的有关信息和数据，进而 对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了 较深刻认识的基
6、础上，经过简化和数学演绎而得出的 一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变 量及其参数间的关系。 表3-1 数学模型的分类 划分依据模型类型 变量与时间关系稳态模型 动态模型 变量间关系线性模型 非线性模型 变量性质确定性模型 随机性模型 参量性质集中参数模型 分布参数模型 对模型机理的 把握程度 白箱模型、灰箱模型以及 黑箱模型 数学模型具有下列特征：数学模型具有下列特征： 高度的抽象性高度的抽象性。通过数学模型能够将形象思维转化。通过数学模型能够将形象思维转化 为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已 有的数学研究成果对研究对象进行
7、深入的研究。有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。 经济性经济性。用数学模型研究不需要过多的专用设备和。用数学模型研究不需要过多的专用设备和 工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学 模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期。模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期。 数学模型具有局限性数学模型具有局限性，在简化和抽象过程中必然造，在简化和抽象过程中必然造 成某些失真。所谓成某些失真。所谓” ”模型就是模型模型就是模型, ,而不是原型而不是原型” ”, ,即是即是 指该性质。指该性质。 3.2数学模型的建立 3.2.1 建立数学模
8、型的过程 一个模型要真实反映客观实际，必须经过 实践-抽象-实践的多次反复。 数学建模的一般步骤 数学建模的一般步骤 数据是建立模型的基础，在数据搜集时要求尽可能的数据是建立模型的基础，在数据搜集时要求尽可能的 充分、准确。在获得一定数据量以后，应尽早进行数充分、准确。在获得一定数据量以后，应尽早进行数 据的初步分析，努力发现规律性或不确定性，以便及据的初步分析，努力发现规律性或不确定性，以便及 时调整数据搜集的策略，为数学模型的建立打下良好时调整数据搜集的策略，为数学模型的建立打下良好 的基础。的基础。 数据分析的主要方法有数据分析的主要方法有: : 时间序列图绘制，反映空间关系的曲线图形绘
9、制或列时间序列图绘制，反映空间关系的曲线图形绘制或列 表，反映变量关系的曲线图形绘制或列表；从中考察表，反映变量关系的曲线图形绘制或列表；从中考察 和分析系统中各元素的时空变化规律，和元素间关系和分析系统中各元素的时空变化规律，和元素间关系 变化规律。变化规律。 2.模型的结结构选择选择 (1)白箱模型 根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变 化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起 的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。 机理模型具有唯一性。建立机理模型最主要的方 法是质量平衡法,在预知污染物质反应的方式和速度 时,用来预测物质流的方向和通量。虽然使用演绎法 建立白箱模型并
10、不需要经过图3.2所列的建立数学模 型步骤，但事实上完全的白箱模型是很少遇到，很难 获得的。 即半机理模型。在应用质量平衡法建立环境数 学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个 待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确 定。通常采用经验系数来定量说明。经验系数的 确定则要借助于以往的观测数据或实验结果。 (2)灰箱模型 (3)黑箱模型 w 即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据 以获得经验模型。它们可在日常例行观察中 积累,也可由专门实验获得。根据对系统输入 输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经 验模型的方法又叫归纳法。 w 经验模型不具有唯一性不具有唯一性，可被多种不同类型
11、的函数描述。因此由归纳法建立起的经验模 型在使用时必须注意其导出过程中的取值范 围,不可任意进行扩展。 例3-1 在x4，由归纳法建立的两函数为： 试绘制其函数图形，并分析其扩展性。 解：绘制的函数图形如图所示。在x5 的情况下，两函数的 取值相差很远，说明它们不具有扩展性。 3.估计计模型的参数 在灰箱、黑箱模型的建立过程中，都需要进行模型在灰箱、黑箱模型的建立过程中，都需要进行模型 参数的估计工作。待定参数可能是一个或多个，其数参数的估计工作。待定参数可能是一个或多个，其数 量取决于模型的结构。待定参数的确定方法一般有最量取决于模型的结构。待定参数的确定方法一般有最 小二乘法、经验公式法、
12、优化法等。但需要认识到，小二乘法、经验公式法、优化法等。但需要认识到， 灰箱模型结构的合理性是其进行参数估计的先决条件灰箱模型结构的合理性是其进行参数估计的先决条件 。而无论采用何种方法进行参数估计，都是建立在观。而无论采用何种方法进行参数估计，都是建立在观 测数据或实验结果的基础上。测数据或实验结果的基础上。 4.模型的检验检验 和修正 结构形式和参数数值确定之后，数学模型就结构形式和参数数值确定之后，数学模型就 已具雏形，但还不能付诸应用。只有经过检验已具雏形，但还不能付诸应用。只有经过检验 和验证的模型才能在一定范围内应用。和验证的模型才能在一定范围内应用。 输入新的输入新的( (独立独
13、立) )观察数据观察数据, ,并根据输出数据并根据输出数据 和模型计算系统估计值之间的误差来检验和修和模型计算系统估计值之间的误差来检验和修 正模型。若计算误差满足预定的要求，则建立正模型。若计算误差满足预定的要求，则建立 模型的工作告一段落。若计算误差超过了预定模型的工作告一段落。若计算误差超过了预定 的界限，则可通过修正参数的数值来调整计算的界限，则可通过修正参数的数值来调整计算 结果；结果； 如果调整参数并不能使模型的精度有所如果调整参数并不能使模型的精度有所 改进，则要考虑模型结构的调整，并重改进，则要考虑模型结构的调整，并重 新进行参数的估计和模型验证。新进行参数的估计和模型验证。
14、经验证明合格的模型，可以在一定范围经验证明合格的模型，可以在一定范围 内应用。内应用。 在应用过程中，要根据实际系统返回的在应用过程中，要根据实际系统返回的 信息对模型不断地修正和完善。信息对模型不断地修正和完善。 3.2.2 3.2.2 对模型的基本要求对模型的基本要求 建立数学模型所需的信息通常来自两个方面建立数学模型所需的信息通常来自两个方面: : 对系统的结构和性质的认识和理解对系统的结构和性质的认识和理解-演绎演绎 法。法。 这类模型只有这类模型只有唯一解唯一解。 系统的输入和输出观测数据系统的输入和输出观测数据-归纳法。归纳法。 经验模型可有经验模型可有多组解。多组解。 1.1.模
15、型要有足够的精确度模型要有足够的精确度 精确度是指模型的计算结果和实际测量数值的吻合程精确度是指模型的计算结果和实际测量数值的吻合程 度。度。 精确度不仅与研究对象有关，而且与它所处的时间，精确度不仅与研究对象有关，而且与它所处的时间， 状态及其它条件有关。状态及其它条件有关。 对于模型精确度的具体规定，要视模型应用的主客对于模型精确度的具体规定，要视模型应用的主客 观条件而定。观条件而定。 通常在人工控制条件下的各种模拟试验及由此建立通常在人工控制条件下的各种模拟试验及由此建立 的模型可以达到较高的精度，而对于自然系统和复合系统的模型可以达到较高的精度，而对于自然系统和复合系统 的模拟及由此建立的模型，不能期望具有较高的精度。精的模拟及由此建立的模型，不能期望具有较高的精度。精 确度通常用误差表示。确度通常用误差表示。 建立什么模型，都必须满足下述基本要求。建立什么模型，都必须满足下述基本要求。 2. 2. 模型要简单适用模型要简单适用 模型既要具备一定的精确度，又要力求模型既要具
