离散傅里叶变换part2

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1、第2章 离散傅里叶变换 Part 2 离散傅里叶变换 主要内容 o2.4 有限长序列离散傅里叶变换（DFT） o2.5 离散傅里叶变换的性质 2.4 有限长序列离散傅里叶变换（DFT） 2.4.1 DFT的定义 上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义 ， 因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列 和有限长序列之间的关系， 由周期序列的离散傅里叶级数表示 式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT ）。 设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有 值，其他n时，x(n)=0。即 为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期

2、序 列 的一个周期，而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓， 即表示成: 这个关系可以用图2-8来表明。通常把 的第一个周期n=0 到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主 值区间上的序列。而称为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN) 之间彼此并不重叠，故上式可写成 (2-26) 图 28 有限长序列及其周期延拓 用(n)N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余数” ， 或称“n对N取模值”。 令 0n1N-1, m为整数 则n1为n对N的余数。 例如， 是周期为N=9的序列，则有： 利用前面的矩形序列RN(n)，式（2-24）可写成 (2-

3、27) 同理，频域的周期序列 也可看成是对有限长序列X(k)的 周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列 的主值序 列，即: (2-28) (2-29) 我们再看表达DFS与IDFS的式(2-6)和式(2-7)： 这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值 区间进行，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可以 得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义: 0kN-1 0nN-1 （2-30） （2-31） x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们 称式(2-30)为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式(2-31)为 X(k)的N点

4、离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列， 就能惟一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为 N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等 量。 此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须 注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表 示的。 换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。 例2-4 已知序列x(n)=(n)，求它的N点DFT。 解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得 到： k=0, 1, , N-1 (n)的X(k)如图2-9。这是一个很特殊的例子，它表明对序 列(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一

5、个离 散矩形序列。 图2-9 序列(n)及其离散傅里叶变换 例 2-5 已知x(n)=cos(n/6)是一个长度N=12的有限长序列， 求它的N点DFT 。 解 由DFT的定义式（2-30） 利用复正弦序列的正交特性（2-3）式，再考虑到k的取值区 间，可得 图 2-10 有限长序列及其DFT 例 2-6 已知如下X(k): k=0 1k9 求其10点IDFT。 解 X(k)可以表示为 X(k)=1+2(k) 0k9 写成这种形式后，就可以很容易确定离散傅里叶反变换。 由 于一个单位脉冲序列的DFT为常数： 同样，一个常数的DFT是一个单位脉冲序列： x2(n)=1 X2(k)=DFTx2(n

6、)=N(k) 所以 2.4.2 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系 若x(n)是一个有限长序列，长度为N，对x(n)进行Z变换 比较Z变换与DFT，我们看到，当z=W-kN时 即 （2-32） 表明 是Z平面单位圆上幅角为 的 点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对 X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值，如图2-11所示。此外 ， 由于序列的傅里叶变换X(ej)即是单位圆上的Z变换，根据 式（2-32）， DFT与序列傅里叶变换的关系为 （2-33） （2-34） 式（2-33）说明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换 X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔采

7、样，其采样间隔为 N=2/N， 这就是DFT的物理意义。显而易见，DFT的变 换区间长度N不同， 表示对X(ej)在区间0, 2上的采样 间隔和采样点数不同， 所以DFT的变换结果也不同。 图 2-11 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系 例 2-7 有限长序列x(n)为 0n4 其余n 求其N=5 点离散傅里叶变换X(k)。 解 序列x(n)如图2-12（a）所示。在确定DFT时，我们可以 将x(n)看作是一个长度N5的任意有限长序列。首先我们以N=5 为周期将x(n)延拓成周期序列 ，如图2-12（b）， 的DFS与 x(n)的DFT相对应。因为在图2-12（ b）中的序列在区间 0nN

8、 -1 上为常数值，所以可以得出 k=0, N, 2N, 其他 (2-35) 也就是说，只有在k=0 和k=N 的整数倍处才有非零的DFS系 数 值。这些DFS系数如图2-12（c）所示。为了说明傅里叶 级数 与x(n)的频谱X(ej)间的关系，在图2-12（c）中也画出 了傅里叶变换的幅值|X（ej)|。显然， 就是X(ej)在频率 k=2k/N 处的样本序列。按照式（2-29），x(n)的DFT对应于取 的一个周期而得到的有限长序列X(k)。这样，x(n)的5点 DFT如图2-12（d）所示。 k=0, 1, 2, 3, 4 k=0 k=0, 1, 2, 3, 4 图 2-12 DFT的举

9、例说明 （a） 有限长序列x(n); （b） 由x(n)形成的周期N=5的周期序列; （c） 对应于 的傅里叶级数 和x(n)的傅里叶变换的幅度特性|X(ej)|; （d） x(n)的DFT X(k) 图 2-13 DFT的举例说明 （a） 有限长序列x(n); （b）由x(n)形成的周期N=10的周期序列x(n); （c） DFT的幅值 通过式（2-26）和式（2-27）联系起来的有限长序列x(n)和周 期序列 之间的差别似乎很小，因为利用这两个关系式可以 直接从一个构造出另一个。然而在研究DFT的性质以及改变x(n) 对X(k)的影响时，这种差别是很重要的。 信号时域采样理论实现了信号时域

10、的离散化，使我们能用数 字技术在时域对信号进行处理。而离散傅里叶变换理论实现了频 域离散化，因而开辟了用数字技术在频域处理信号的新途径，从 而推进了信号的频谱分析技术向更深更广的领域发展。 2.5 离散傅里叶变换的性质 本节讨论DFT的一些性质，它们本质上和周期序列的DFS概 念有关，而且是由有限长序列及其DFT表示式隐含的周期性得出 的。以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT表示N点 DFT，且设: DFTx1(n)=X1(k) DFTx2(n)=X2(k) 2.5.1 线性 式中，a, b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。 (2-36) 2.5.2 圆周移位 1. 定义 一个长度为

11、N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(n) （2-37） 我们可以这样来理解上式所表达的圆周移位的含义。首先， 将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列 ; 再 将 加以移位： （2-38） 然后，再对移位的周期序列 取主值区间（n=0 到N-1） 上的序列值，即x(n+m)NRN(n)。所以，一个有限长序列x(n)的圆 周移位序列y(n)仍然是一个长度为N的有限长序列，这一过程可 用图2-14（a）、（b）、（c）、（d）来表达。 从图上可以看出，由于是周期序列的移位，当我们只观察 0nN-1 这一主值区间时，某一采样从该区间的一端移出时， 与其相同值的采

12、样又从该区间的另一端循环移进。因而，可以 想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上，序列x(n)的圆周移位， 就相当于x(n)在此圆周上旋转，如图2-14（e）、（f）、(g)所示 ， 因而称为圆周移位。若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针 旋转; 将x(n)向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果 围绕圆周观察几圈， 那么看到的就是周期序列 。 图 2-14 圆周移位过程示意图 2. 时域圆周移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即 则圆周移位后的DFT为 证 利用周期序列的移位性质加以证明。 (2-39) 再利用DFS和DFT关系 这表明，有限长序列

13、的圆周移位在离散频域中引入一个和频率 成正比的线性相移 ，而对频谱的幅度没有影响。 3. 频域圆周移位定理 对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的 圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关 系，可以证明以下性质： 若 则 这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。 (2-40) 2.5.3 圆周卷积 设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0nN-1），且有： 若 则 (2-41) 一般称式(2-41)所表示的运算为x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积 。 下面先证明式(2-41)，再说明其计算方法。 证 这个卷积相当于周期序列 和 作周期卷积后再 取其主值序列。 先将Y(k)周期延拓， 即 根据DFS的周期卷积公式 由于0mN-1 为主值区间， ， 因此 将 式经过简单换元，也可证明 卷积过程可以用图2-15来表示。圆周卷积过程中，求和变量 为m, n为参变量。先将x2(m)周期化，形成x2(m)N，再反转形成 x2(-m)N，取主值序列则得到x2(-m)NRN(m)，通常称之为x2(m)的 圆周反转。对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成x2(n- m)NRN(m)，当n=0,1,2,N-1时，分别将x1(m)与x2(n-m)NRN(m)相 乘，并在m=0 到N-1 区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。