—点式空间群

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1、第九讲 空间群(I)：点式空间群 复习： 点对称操作、7种晶系、32种点群、 14种布拉菲格子 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 1 (E, L1) 2 (C2, L2) 3 (C3, L3) 4 (C4, L4) 6 (C6, L6) 1 (i, C) 2 (, P), m 3 (S65, Li3) 4 (S43, Li4) 6 (S35, Li6) +, + _ , 旋转轴， n 旋转反演轴， n 点对称操作 1 (E) 2 (C2) 3 (C3) 4 (C4) 6 (C6) 1 (i) 2 (), m 3 (S65) 4 (S43) 6 (S35) (C41, C42, C4

2、3, C44 ) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) (C31, C32, C33) n = 1n (iCn), Sn = Cn (h, v, d) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 点对称操作 ! (C21, C22) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(h), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66 对称条件晶系特点 四个三次轴四个三次轴 三 斜 单 斜

3、正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a b c, abc, = = 90o abc, = = = 90o a = bc, = = = 90o a = bc, = = 90o, = 120o a = b = c, = = = 90o a = b = c, = = 菱形 a = bc, = = 90o, = 120o 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m 点群各符号的顺序 晶系晶系 在在 国国 际际 符符 号号 中

4、中 的的 位位 置置 123 三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方 只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 2或2沿a2或2沿b2或2沿c 4或4沿c2或2沿a和b2或2沿ab 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 6或6沿c 2或2a、b和a+b 3或3沿 2或2沿 2或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b 4、4、2或2 沿 1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC ) 222(3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm (L44L25PC) 4m

5、m (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6)23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2 ) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 3232 种种 点点 群群 及及 其其 点点 对对 称称 操操 作作 从旋转点群推导32种点群 点群的熊夫利斯符号 1111种纯旋转群：种纯

6、旋转群： 1 2 3 4 6222 32 422 62223 432 C1 C2 C3 C4 C6 D2 D3 D4 D6 T O 循环点群二面体点群立方点群 1111种中心对称点群：种中心对称点群： m3 m3m S2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh 1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm 1010种新子群种新子群 ： m3 m3m1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3hTd mmm2463m4mm 42m43m6mm 6m2

7、推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号 五种循环群五种循环群 C C n n ( (5 5 种种) ) C C nhnh = = C C n n E, E, h h ( ( 5 5 种种) ) C C nvnv = = C C n n E, E, v v ( ( 4 4 种种, C, C1v 1v = C = C1h 1h ) ) 非真旋转非真旋转 S S n n ( (3 3 种，种，n =2, 4, 6)n =2, 4, 6) DD n n = = C C n n E, C E, C 2 2 100100 ( ( 4 4 种种) ) DDnh nh = = C Cnh nh E, E,

8、 d d ( ( 4 4 种种) ) DDnd nd = S = S2n 2n E, C E, C 2 2 100100 (n =2, 3 (n =2, 3 共共 2 2 种种) ) 立方点群立方点群( (无主轴）无主轴） 5 5 种种: T, : T, T T h h , T, T d d , O, O, O, O h h 1(C1 ) m (C1h) 1(Ci) 42m (D2d) 2(C2) 2/m (C2h) 222(D2) mm2 (C2v) mmm (D2h) 4 (S4) 422 (D4) 4/mmm (D4h) 4mm (C4v) 4/m (C4h) 4(C4) 62 (D3h

9、) 6 (C3h) 622 (D6) 6/mmm (D6h) 6mm (C6v) 6/m (C6h) 6(C6)23(T) m3 (Th) 432 (O) m3m (Oh)3m(D3d) 3(C3) 3m (C3v) 32(D3)43m (Td) 3(S6) 3232 种种 点点 群群 符符 号号 T Th Td O Oh Tetragonal Octahedral 点群各符号的顺序 晶系晶系 在在 国国 际际 符符 号号 中中 的的 位位 置置 123 三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方 只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 2或2沿a2或2沿b2或2沿c 4或

10、4沿c2或2沿a和b2或2沿ab 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 6或6沿c 2或2a、b和a+b 3或3沿 2或2沿 2或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b 4、4、2或2 沿 第八讲 14种布拉菲格子 旋转对称性 晶系、参考轴 初基P单胞 (6) 有心化 新的点阵 (有心 8 种) 满足点阵条件 + 晶系不变 P点阵中高对称位置加心(体心I, 全面心F, 单面心A, B或C 双面心) 14种布拉菲点阵 旋转对称性 六方格子特殊心 菱形(三方)单胞 A B X X X X 双面心不满足点阵条件！ 三 斜 晶 系 单 斜 晶 系 三斜 P 单斜 P单斜 B 单斜 C = P 不是新点阵

11、 单斜 B = I = F = A b轴为唯一轴:B = P，C = I = F = A 正交 P正交 C 正交 I正交 F 正 交 晶 系 正交 C = A = B P ? 立方 P立方 I, bcc立方 F, fcc 四方 I四方 P 四 方 晶 系 立 方 晶 系 四方 C = P A B 四方 F = I 单面心破坏4个3次对称性！非点阵 非点阵 六 方 晶 系 三 方 菱 形 晶 系 六方 P 三方 R 底面心：正交侧面心：非点阵 +c/2 体心：非六方点阵 +c/2 (1/3, 2/3, 0)：P +2c/3 +c/3 (1/3, 2/3, 2/3)：R 有心化 (1/3, 2/3

12、, 1/3)：R +2c/3 +c/3 a b c 正定向 +c/3 +2c/3 a b c 反定向 六角单胞有心化后，已不具有6次对称性，却导出有3次对称性的 菱形初基单胞。R 点阵可由两种轴系表示：R晶系、六角晶系 a = bc, = = 90o, = 120o a = b = c, = = 菱形 R R单胞有心化单胞有心化 面心面心体心体心 R R单胞只单胞只 有有P P格子格子 不同轴长和轴间角不同轴长和轴间角 点对称条件晶系点群 四个三次轴四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)

13、或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) 布拉菲点阵 P P, B P, C, I, F P, I P P, I, F P 1(C1), 1(Ci) m(C1h),2(C2),2/m(C2h ) 222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h) 42m (D2d)4 (S4),422 (D4), 4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4), 3m(D3d) 3(C3), 3m (C3v), 32(D3), 3(S6), 622 (D6), 6/mmm (D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6), 62 (D3h)6 (C

14、3h), 23(T), m3 (Th), 432 (O), m3m (Oh) 43m (Td), 第九讲 点式空间群 空间群：所谓结晶学空间群就是能使三维周期物 体（无限大晶体）自身重复的几何对称对称操作的集 合，构成数学意义上的群。 晶体宏观对称性是晶体结构（原子排列对称性）即微观对 称的反映。 晶体的宏观外形是作为一个连续整体来看的有限图形，而 晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开。 宏观对称性的点群中对称要素必须交于一点，只有方向的 概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和 位置的概念。 点式空间群：由全部作用于同一个公共点 上的对称操作完全确定，或者说仅由点对

15、称操 作和平移对称操作组合而产生。 螺旋轴或滑移面不是其基本对称元素。 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与 空间群点群相同的位置对称性 晶系点群布拉菲点阵7373种种点式空间群点式空间群 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 P P P P P P P 1,1 m,2,2/m 222, mm2, mmm 42m,4, 422, 4/mmm 4mm,4/m,4, 3m 3, 3m, 32, 3, 622, 6/mmm 6mm,6/m,6, 62m,6, 23, m3, 432, m3m 43m, P1,P1 Pm,P2,P2/m P222,Pmm2,Pmmm P42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4, P31m,P3, P3m1, P312, P3, P23, Pm3,P432, Pm3mP43m, Bm,B2,B2/m C222, Cmm2,Cmmm, I222,Imm2,Immm F222,Fmm2,Fmmm Amm2 B C I F I P