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1、3.4.2 用DFT对信号进行谱分析 信号的谱分析：就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析不便于直接用计算机进行计算 ， 应用受到限制。 DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算， 成为分析离散信号和系统的有力工具。 1. 用DFT对连续信号进行谱分析 工程中经遇到的连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(j)也是连续函数 。 先对xa(t)进行时域采样，得到时域离散信号x(n)=xa(nT)； 对x(n)进行DFT，得到的X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区 间0, 2上的N点等间隔采样； x(n)和X(k)均是有限长序列； DFT对xa(t)进行频谱分析 傅
2、里叶变换理论 信号持续时间有限长，其频谱是无限宽。 信号的频谱有限长，在时域中，该信号的持续时间无限长。 上述两种情况，在时域或频域中进行采样，得到的序列都是无限 长序列，不满足DFT的变换条件。 采用的处理方法：在频域中用滤波器滤除高于折叠频率的高频分 量，在时域中则是截取有限点进行DFT。 结论：用DFT对连续信号进行谱分析是一种近似的分析，近似 程度与信号带宽、采样频率和截取的长度有关。 3.4 DFT的应用举例 设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc， 如下图(a)所示 。 则xa(t)的傅里叶变换为： Tp 3.4 DFT的应用举例 对xa(t)以采样频率fs= 1/T2
3、fc进行采样得：x(n)= Xa(nT)。 设共采样N点，并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT, dt=T)得: 对 x(jf)在区间0, fs上等间隔采样N点，采样间隔为F，参数fs 、 Tp、 N和F满足如下关系式： 令f=KF，频域N点采样得 : 令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得 函数值与区间长 度T的乘积和 F=fs/N=1/NT=1/Tp ,FT=1/N 3.4 DFT的应用举例 结论: (1)连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样，并进行DFT 再乘以T的近似方法得到。 (2)连续信号的时域采样信号可以通过对其频谱函数进行采样 ，并进行IDFT再乘以1/
4、T的近似方法得到。 误差现象： (1)分析的结果看不到xa(jf)的全部特性，只能看到N个离散采样 点的谱特性，这就是栅栏效应。 (2)如果持续时间无限长，分析时要进行截断处理，这样会产 生频谱混叠和泄漏现象，使谱分析产生误差。 3.4 DFT的应用举例 【例】理想低通滤波器的单位冲激响应ha(t)及其频响函数Ha(if) 如图所示。 用DFT来分析ha(t)的频率响应特性 。 由于ha(t)的持续时间为无穷长 ， 所以要截取一段Tp， 假设Tp=8 s，采样间隔T=0.25 s， 采样点数 N=Tp/T=32。 频域采样间隔 F=1/NT=0.125 Hz。 则 H(k)=TDFTh(n),
5、 0k31 ， 其中：h(n)=ha(nT)R32(n) 整个频响有波动， 高频部分误差较大 3.4 DFT的应用举例 对连续信号进行谱分析主要关心的两个问题： 谱分析的范围fc ：受采样频率fs的限制，fc 2 fc 谱分辩率: F= fs / N 采样点数N的选择： N 2fc/F 信号观察时间Tp的选择： Tp 1/F 提高F: (1)如保持N不变，必须fs 降 低，导致谱分析范围减小 ； (2) fs 不变，增加采样点数 N，即增加Tp 例：对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率 fc=2.5kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少 的采样
6、点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采 样点数和最小的记录时间是多少? 解：根据信号观察时间TP的选择原则：TP 1/F=1/10=0.1s 因为要求: fs2fc，最小的采样频率为2fc ，所以: 频率分辨率提高一倍， 即：F=5 Hz TPmin = 1/ F = 1/5 = 0.2s Tmax = 1/ 2fc = Nmin = 2fc / F Nmin = 2fc / F 观察时间增加一 倍，采样点数增 加了一倍 2. 用DFT对序列进行谱分析 单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换。 X(ejw)是w的连续周期函数，对序列x(n)进行N点DFT，得到 X(k) ，X(
7、k) 是在区间0, 2上的N点等间隔采样。 序列x(n)的傅里叶变换可利用DFT来计算。 (2)对周期序列的频谱分析 设序列 (n)=x(n+rN)是周期为N的周期序列，则其傅立叶变 换为： 周期序列的频谱结构可以用离散傅里叶级数系数 表示 取 的主值序列 进行N点DFT，得到 周期序列的频谱结构也可以用其主值序列的离散傅里叶变换 X(k)来表示(分析) x x (n) 令：n=n+rN，r=0,1,m-1，n=0,1N-1, 则 x xM(n)= (n)RM(n) 即：M=mN，m为整数 截取序列的长度M为 (n)的整数个周期x 设： n=n+rN 3.4 DFT的应用举例 周期序列的频谱结
8、构也可以用xM(k)表示 分析: (1)只有在k=rm时，XM(rm)=m ，表示 (n)的r次谐波 谱线，幅度扩大了m倍，在其它k值， XM(k)0。 (2)X(r)与XM(rm)对应点的频率相等。 (3)只要截取 (n)整数个周期进行DFT，就可得到它的频 谱结构，达到谱分析的目的。 k/m=整数 k/m整数 X(r) x x 3.4 DFT的应用举例 若事先不知道x (n)的周期，怎样进行频谱分析： 先截取x (n) M点，则求xM (n)的DFT： xM(n) = x (n)RM(n)， XM(k) =DFTxM(n)，0k M-1; 再截取x (n) 2M点，则求x2M(n)的DFT
9、： x2M(n) = x (n)R2M(n)， X2M(k)= DFTx2M(n)，0k 2M-1; 将2次截取序列的频谱进行分析，是否满足误差要求，若 不满足，应加大截取窗长度（增加M值），再将结果进行 分析。 3.4 DFT的应用举例 16点DFT相当于在序 列后补零 3.4 DFT的应用举例 x(n)=cos n/4 16点相当于取周期序列 的两个周期进行DFT 3.4 DFT的应用举例 3用DFT进行谱分析的误差问题 DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱 分析。在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，由此可 能产生误差分析。 (1)频谱混迭现象： 原因: 不满
10、足时域采样定理 避免措施：采样频率fs2fc，以避免信号在w=处附近的混迭 。 具体方法是：采样时满足采样定理，采样前对信号进行预滤 波，滤去信号中频率高于fs/2的频率分量。 3.4 DFT的应用举例 (2)栅栏效应： 现象：N点DFT是在区间0, 2上的N点等间隔采样，采样点 之间的频谱函数值是不知道的，就好像从N+1个栅栏缝隙中观 看信号的频谱特性，得到的是N个缝隙中看到的频谱函数值， 这种现象称为栅栏效应。 原因：对信号的频谱进行有限点采样。 后果：栅栏效应可能漏掉(挡住)大的频谱分量 减少栅栏效应的措施：对原序列补0，增大N，以增加采样点 ； 3.4 DFT的应用举例 (3)截断效应
11、： 原因: 对序列x(n)截断所引起的。 无限长序列x(n)截短成有限长序列y(n)，即 y(n)=x(n)RN(n)，则 Y(ejw)=FTy(n)=1/(2)X(ejw)*RN(ejw) =1/(2) X(ej)*RN(ej(w-)d， 其中X(ejw)=FTx(n) RN(ejw)=FTRN(n)=e-jw (N-1)/2sin(wN/2) sin(w/2)=RN(w)ej(w) RN(w) w 0 2N N 2N 矩形窗函数幅度谱 主瓣 旁瓣 3.4 DFT的应用举例 例：x(n)=cos(w0n)，w0=/4，用DFT分析其频谱特性。 解：序列的幅度谱X(ejw)= (w-/4-2l
12、)+ (w+/4-2l) 加矩形窗截断后,Y(ejw)=1/2X(ejw)*RN(ejw)，定性图如下 可见，截断后的频谱Y(ejw)与原序列频谱X(ejw)存在差别表现为 频谱泄漏：在上图中，原谱线是离散谱线，而截短后，原来 的离散谱线向附近展宽，常称这种展宽为泄漏。使谱分辨率F 降低。泄漏原因是截取的窗函数有限长。 l=- w 0-44 Y(ejw) N/2 加矩形窗后幅度谱 w 0-44 X(ejw) x(n)=cos(w0n)的频谱 RN(w) w 0 2N N 2N 矩形窗函数幅度频 3.4 DFT的应用举例 谱间干扰：在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量 间的干扰（简称谱间干扰），影响频谱分辨率F，旁瓣的信号很 强时，可能湮没弱信号的主谱线，导致较大的偏差。 上述两种现象都是由于截短序列引起的，统称截断效应。为 了减小截短效应的影响，可采取以下措施。 窗函数不变，增大采样点N值： 使主瓣变窄（4/N），提高频率分辨率。但旁瓣个数，相 对幅度大小不变，即谱间干扰不变。 采样点N不变，改变窗函数： 选用旁瓣小的窗函数，使旁瓣个数减少，相对幅度减小，谱 间干扰减小。但旁瓣越小，其主瓣就越宽，从而使谱分辨率降 低。 谱分辨率与谱间干扰是一对矛盾体，要综合考虑和兼顾。
