信号与系统奥本海默第二版第6章

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1、第六章信号与系统的时域和频域特性 本章主要内容 1. 傅立叶变换的模与相位。 2. LTI系统的幅频特性与相频特性，系统的失真。 3. 系统的不失真传输条件。 4. 理想滤波器的时域和频域特性。 5. 非理想滤波器的特性及逼近方式。 6. 一阶与二阶系统的分析方法，Bode图。 工程中设计系统时，往往会对系统的特性从 时域角度或频域角度提出某些要求。 6.0 引言 Introduction 在时域，系统的特性由 或 描述； 在频域，系统的特性由 或 描述 ； 在以前的讨论中，已经看到 v在LTI 系统分析中，由于时域中的微分（差分 ）方程和卷积运算在频域都变成了代数运算， 所以利用频域分析往往

2、特别方便。 v系统的时域特性与频域特性是相互制约的。在 进行系统的分析与设计时，要权衡考虑系统的 时域与频域特性。 v本章的基本内容旨在建立对系统的时域和频域 特性进行综合分析的思想和方法。 6.1 傅里叶变换的模和相位表示 无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现 为一个复函数。 这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含 在其频谱的模和相位中。 在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失 真和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同 的技术指标要求。 因此，导致信号失真的原因有两种： 1.幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。 2.相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。 6.2 LTI系统频率

3、响应的模和相位表示 LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。 一. 线性与非线性相位 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生 改变都会引起信号波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只 引起信号在时间上的平移。若连续时间LTI系统 ： 则 此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发生 时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的。 如果系统的相位特性是非线性的，由于不同频率 分量受相位特性影响所产生的时移不同，叠加起来一 定会变成一个与原来信号很不相同的信号波形。 对离散时间LTI系统，也有同

4、样的结论。但对线 性相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起信 号的时域移位。若相位特性的斜率不是整数，由于离 散时间信号的时移量只能是整数，需要采用其他手段 实现，其含义也不再是原始信号的简单移位。 二. 信号的不失真传输条件 如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视 为在传输中未发生失真。 这就要求系统的频率特性为 全通系统:系统的幅频特性是一个常数。 时域表征 据此可得出信号传输的不失真条件： 0 通常，系统若在被传输信号的带宽范围内满足不 失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统。 频域表征 0 三. 群时延 Group Delay 对线性相位系统，系统的相位特性表明了信号的 各个

5、频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附 加相移。相位特性的斜率就是该频率分量在时域产 生的时延。 对非线性相位系统，定义群时延为 群时延:代表了在以 为中心的一个很小的频带或 很少的一组频率上信号所受到的有效公共延时。 考察一个中心频率为 的窄带输入信号 ，一个非线性相位的系统在此窄带范围内，可将 其相位的变化近似看成线性的。因此， 该系统对窄带输入信号的近似效果就是： 3. 对应系统在窄带内的近似线性相位 所产生 的时延 。该时延就是系统在 的群时延。 2. 对应系统在 的恒定相位 的因子 的影响； 1. 由 引起的幅度成形； 四. 对数模与Bode图 在工程应用中，往往采用对数模特性（或

6、称为Bode 图）来描述系统的频率特性。在对数坐标下，采用对 数模，可以给频率特性的表示带来方便。这是因为: 1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.可以利用对数坐标的非线性，展示更宽范围的 频率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相 位特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模： 单位奈培（Np） 单位分贝（dB） decibel 对离散时间系统，由于其有效频率范围只有 , 而且，即使在对数坐标下也不存在直线型的渐近 线。因而不采用对数坐标，只采用对数模。 采用对数模（或Bode图）表示频率特性，对于 幅频特性有零点或在某些频段上

7、为零的系统，是 不适用的。 6.3 理想频率选择性滤波器 1.频率成形滤波器 2.频率选择性滤波器 一. 滤波 通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相 位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。 滤波器可分为两大类： 二. 理想频率选择性滤波器的频率特性 理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几 个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率 响应等于零。 理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。 滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的 通带（pass band ），完全不允许信号通过的频 段称为阻带（stop band）。 连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性 低通高通 带通

8、带阻 离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性 低通高通 带阻带通 - 2 - -0- 各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。 离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相 应的连续时间滤波器特性完全相似。 三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例 连续时间理想低通滤波器 1 由傅里叶变换可得: 对离散时间理想低通滤波器有： 如果理想低通滤波器具有线性相位特性 则 理想低通滤波器的单位阶跃响应 令 正弦积分 由于 对离散时间理想低通滤波器，相应有： 从理想滤波器的时域特性可以看出： 1.理想滤波器是非因果系统。因而是物理不 可实现的； 2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的 频率特性是最

9、佳的。但它们的时域特性并不是最 佳的。 或 都有起伏、旁瓣、主瓣，这表 明理想滤波器的时域特性与频域特性并不兼容。 3.在工程应用中，当要设计一个滤波器时， 必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。 6.4 非理想滤波器 对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价 越大，系统的复杂程度也越高。 非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。 由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用 中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近 理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想 滤波器。 非理想滤波器特性 1.通带绝对平坦，通带 内衰减为零。 理想滤波器特性 2.阻带绝对平坦，阻带 内衰减为 。 通带内允许有起伏

10、， 有一定衰减范围 3.无过渡带。 阻带内允许有起伏， 有一定衰减范围 有一定的过渡带宽度 通常将偏离单位增益的 称为通带起伏（或 波纹）， 称为阻带起伏（或波纹）， 称为通 带边缘， 为阻带边缘， 为过渡带。 它们都是从幅频特性出发逼近理想低通的模特 性的。 工程实际中常用的逼近方式有： 1.Butterworth滤波器： 通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近； 2.Chebyshev滤波器： 通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏； 3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器） 通带、阻带均等起伏。 2.包络时延Chebyshev滤波器： 包络时延等起伏逼近； 对同一种滤波器，阶数越高

11、，对理想特性逼近得 越好，过渡带越窄，但付出的代价是系统越复杂。 从相位特性出发，逼近理想的线性相位特性有 1.Bassel滤波器： 群时延最平伏逼近； 3.Gauss滤波器。 对同样阶数的滤波器，从 Butterworth Chebyshev Cauer，其幅频特性逼近得越来 越好，但阶跃响应的起伏、超量和振荡也越厉害（ 体现了系统频域特性与时域特性的不兼容）。系统 的复杂程度也越来越高，相应地，实现系统所付出 的代价也越来越大。 5阶Butterworth滤波器与5阶Cauer滤波器的比较： 单位阶跃响应： 6.5 一阶与二阶连续时间系统 对由LCCDE描述的连续时间LTI系统，其频率 响

12、应为： 其中： 、 均为实常数。 此时，可通过对 、 因式分解， 将其表示成若干个一阶或二阶有理函数的连乘； 或者通过部分分式展开，表示成若干个一阶或二 阶有理函数相加。 这表明：由LCCDE描述的LTI系统可以看成 由若干个一阶或二阶系统通过级联或并联构成。 因此，一阶和二阶系统是构成任何系统的基本单 元。掌握一阶和二阶系统的分析方法就尤为重要 。 一.一阶系统: 1.时域特性: 模型： 可以看出： 越小， 上升得越快，系统失真越小。 在对数坐标系下，是一条直线，斜率为每10倍 频程-20dB。 可见，一阶系统的Bode图有两条直线型渐近线 。 称为折断频率。 2. 一阶系统的Bode图：

13、当 即时 当即时 当 时，准确的对数模为 相频特性： 将其折线化可得相位特性的直线型渐近线： 时， 时， 时， 二. 二阶系统 ： 如：对RLC串联谐振电路，可列出电路方程 模型： 考察由弹簧、阻尼器、质量M组成的减震系统 （位移） （牵引力） 分析受力 可列出方程 即 其中 由二阶系统的方程可得系统的频率响应： 显然，若 则方程就成为标准形式。 当 时， 1.时域特性： 由 系统处于临界阻尼状态。 时， 、 为实数根，系统为过阻尼状态. 时， 系统处于无阻尼状态。 当 时， 、 为共轭复根，系统处 于欠阻尼状态. 时，二阶系统的时域特性最佳 当 时: 2.频率特性： 当 时: 在对数坐标中可

14、用两条直线表示。一条是低频 段的0dB线，一条是高频段的斜率为40dB/dec 的直线。时，准确的对数模为： 时，幅频特性在 处出现峰值，其 值为 。 时:系统类似于一阶系统具有低通特性。 时:随 的减小，逐步过渡为带通特性。 时:系统具有最平坦的低通特性。 相位特性： 时 : 时 : 时 : 可将其用折线近似为： 据此可作出不同 下的相位特性 可见 越小，相位的非线性越严重。 三.有理型频率响应的Bode图 ： 这种频率特性的因子，与一阶、二阶系统的情 况相比，其 存在倒量关系。即: 对于 6.6 一阶与二阶离散时间系统 一.一阶系统 由差分方程可得系统的频率响应： 系统的数学模型： 1.

15、时域特性 对频率响应做傅立叶反变换可得： 系统的单位阶跃响应为： 据此可做出不同参数情况下系统的单位脉冲 响应和单位阶跃响应： 2. 频域特性 由系统的频率响应可以得出： 据此可做出不同参数情况下一阶系统的幅 频特性和相频特性： 二. 二阶系统 或 时， 有两个不同的极点 、 数学模型： 其中 为指数衰减的正弦振荡。 单调变化，无振荡. 振荡最剧烈. 时: 时: 系统的单位脉冲响应： 系统的单位阶跃响应： 6.7 系统的时域分析与频域分析举例 一.汽车减震系统 类似于前面讨论过的二阶系统，其中 系统模型为： 从频域看， 越小，越有利于滤除路面不平所 造成的影响。但 越小，时域特性变化越慢。 参考高度 底盘质 量 M 弹 簧 减震器 路面 从时域角度看，希望响应时间尽可能快，并且不 要出现震荡和超量，因此应该要求 ，但 时，系统的频率特性并不是最佳。 对系统的时域特性和频域特性综合折中考虑，是 工程