量子力学与固体物理.

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1、量子与固体物理量子与固体物理 电子科学与工程学院电子科学与工程学院 陈德媛陈德媛 chendychendy 1 第一部分 量子力学 2 看量子力学在真实世界中 的10大应用 一、陌生的量子，不陌生的晶体管 二、量子干涉“搞定”能量回收:量子干涉描述了同 一个量子系统若干个不同态叠加成一个纯态的情况， 研究人员利用它研制了一种分子温差电材料，能够有 效的将热量转化为电能。更重要的是，这种材料的厚 度仅仅只有百万分之一英尺,在其发挥功效时，不需要 再额外安装其他外部运动部件，也不会产生任何污染 。研究团队表示，如果用这种材料将汽车的排气系统 包裹起来的话，车辆因此将获得足以点亮200枚100瓦 灯

2、泡的电能 。 三、不确定的量子，极其确定的时钟美国海军气象 天文台一台铯原子钟，能够在2000万年之后，依然保持 误差不超过1秒。通过调整铯原子的能量层级来抑制量子 噪声程度的方法。 四、量子密码之战无不胜篇 五、随机数发生器：上帝的“量子骰子”他们先是通 过在真空中制造波动来产生出量子噪声，然后测量噪声所 产生的随机层级，借此获得可以用于信息加密、天气预演 等工作的真正随机数字。值得一提的是，这种骰子被安装 在固态芯片上，能够胜任多种不同的使用需求。 六、我们与激光险些失之交臂 七、专门挑战极端的超精密温度计耶鲁大学的研究 人员发明了一支可以对付这些情况的神奇温度计。它不仅 在极端环境中保持

3、坚挺，更能够提供无比精确的数值。 八、人人都爱量子计算机顺应量子时代或许才是 人们最好的选择。相比传统计算机，量子计算机具有 无可比拟的巨大优势：并行处理。借助并行处理的能 力，量子计算机能够同时处理多重任务，而不是像传 统计算机那样还要分出轻重缓急。量子计算机的这一 特性， 注定它在未来将以指数级的速度超越传统计算 机。 九、想知道什么是真正的瞬时通信吗 十、远距传输从科幻到现实 引言量子力学简史 6 7 一个世纪以前，我们所理解的物理世界是经验性的,在当 时，人们看来最显著的事情是对于物质属性的简明描述 基本上是经验性的包括分子，流体和固体，导体和半导 体。成千上万页的光谱数据罗列了大量元

4、素波长的精确 值，但是谁都不知光谱线为何会出现，更不知道它们所 传递的信息。对热导率和电导率的模型解释仅符合大约 半数的事实。虽有不计其数的经验定律，但都很难令人 满意。 而量子力学的建立，量子力学提供了一种定量的物质理 论。使得上述问题迎刃而解，同时使得化学、生物、医 学等学科迅速发展。如：作为量子力学的产物的电子学 是人类进入计算机时代，光子学则是人类进入信息时代 。量子力学展示了其强大的威力，当时其本质却至今没 有得到满意的阐述。 D. Kleppner 2、有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。 经典概念中粒子： 2、波函数的统计解释 1. 物理量的空间分布作周期性的变化; 2干

5、涉、衍射现象，即相干叠加性。 经典概念中波： 如何理解波粒二象性？ 42 电子的衍射实验观察到的波粒二象性 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦 显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样。 电子源 感 光 屏 P P O Q Q O 43 电子源 感 光 屏 P P O Q Q O 关于波粒二象性的两种错误看法： 1. 波由粒子组成 如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍 射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长， 底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是 许多电子在空间聚集在一起

6、时才有的现象，单个电子就具 有波动性。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而 抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。 44 2、粒子由波组成 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中 连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波 包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自 由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关 。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意 义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在 一个原子内，其广延不会超

7、过原子大小1 。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“ 电子既不是 粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但 是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波 动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒 子也不是经典概念中的粒子。 45 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是 一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此 基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。 在电子衍射实验中的规律，照相底片上: r 点附近衍射花样的强度： 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现

8、的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几率。 46 假设衍射波波幅用 (r) 描述，与光学相似，衍射花纹 的强度则用 |(r)|2 描述，但意义与经典波不同。 |(r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|(r)|2 x y z 表示在 r 点处体积元x y z中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振 幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客 体运动的一种统计规律性，波函数 (r)有时也称为几 率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释（统计解 释），它是量子力学的基本原理。 47 3、波函

9、数的性质 （1）几率和几率密度 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在t 时刻，r 点，d=dxdydz 体积内，找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率是： dW(r,t)=C|(r,t)|2d，其中，C是比例系数。 在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是： (r,t) = dW(r,t )/d = C|(r,t)|2 称为几率密度。 在体积V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) =V dW =V(r,t) d= CV | (r,t)|2 d 3、波函数的性质 （1）几率和几率密度 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在t 时刻，r 点，d=dxdydz 体积内，

10、找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率是： dW(r,t)=C|(r,t)|2d，其中，C是比例系数。 48 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭 情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即： C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ | (r , t)|2 d （2）平方可积 这就要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值 平方可积的函数。否则C没有意义。 注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归 一化问题，以后再予以讨论。 （2）平方可积 49 （3）归一化波函数 对于波函数 (r , t ) 和 C (r , t )，

11、在 t 时刻，空间任意 两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是（这里的 C 是常数）： 可见， (r , t ) 和 C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相 同的，则 (r , t ) 和 C (r , t ) 描述的是同一几率波，所 以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各 点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例 ，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个 常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一状态 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原

12、来的 4 倍，因而代 表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。 50 归一化常数 若 (r , t ) 没有归一化， | (r , t )|2 d= A （A 是 大于零的常数），则有|(A)-1/2(r , t )|2 d= 1 l注意：对归一化波函数仍有一个模为1的因子不定性。 若 (r , t )是归一化波函数，那么： expi (r , t ) 也是 归一化波函数（其中是实数），与前者描述同一几率波 。 也就是说，(A)-1/2 (r , t )是归一化的波函数，与 (r , t ) 描写同一几率波，(A) -1/2 称为归一化因子。 则对在x=x0 邻域连续的任何函数 f（x） 函

13、数可以等 价表示为： 51 （4）平面波归一化 Dirac 函数 定义： 0 x0 x 如果让l0（即缩短为一点），但保持质量不变，记作： 52 函数的性质： 函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/, dk= dpx/, 则： 53 平面波归一化t0时刻波函数 以一维情况为例： 代入 若取 A12 2 = 1，则 A1= 2-1/2, 于是 54 因为 平面波可归一化为 函数 所以归一化后： 所以上式： 55 三维情况： 其中： 注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几 率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各 点找到粒子的几率相同。 56 （二） 态叠加原理

14、1、态叠加原理 微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和 衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相 加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也 存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量 子力学的波叠加原理称为态叠加原理。 57 以电子双缝衍射实验为例 P 1 2 S1 S2 电子源 感 光 屏 一个电子有 1 和 2 两种 可能的状态， 是这两种 状态的叠加。 考虑双缝不对称的一般情况下的粒子波函数： 屏幕上出现条纹强度I： 电子穿过狭 缝出现在 点的几率 密度 电子穿过狭 缝2出现在 点的几率 密度 同一

15、个电子 的两个态之 间的相干项 58 一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那 么它们的线性叠加 = C11 + C22 也是该体系的一个可能状态。 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。 态叠加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态，则这 些态的线性叠加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数) 也是体系的一个可能状态。处 于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于2态.， 部分的处于n，. 一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那 么它们的线性叠加 = C11 + C22 也是该体系的一个可能状态。 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。 59 举例： 电子在晶体表面反射后，电子 可能以各种不同的动量 p 运动 。具有确定动量的运动状态用 de Broglie 平面波表示 d 根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即 而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 由于dp是连续的