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1、节 三角函数的图象与性质 总纲目录 教材研读 三角函数的图象与性质 考点突破 考点二 三角函数的单调性与周期性 考点一 三角函数的定义域与值域 考点三 三角函数的奇偶性与对称性 三角函数的图象与性质 教材研读 1.下列函数中,最小正周期为的奇函数是 ( ) A.y=sin B.y=cos C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 答案 B y=cos =-sin 2x,y=cos 是最小正周期为的奇 函数,故选B. B 2.函数y=tan 3x的定义域为 ( ) A. B. C. D. 答案 D 由3x +k(kZ),得x + ,kZ.故选D. D 3.(2016北京
2、东城(上)期中)函数y=cos 2x的图象的一条对称轴方程是 ( ) A.x= B.x= C.x=- D.x=- 答案 A 令2x=k(kZ),得x= (kZ), 函数y=cos 2x的图象的对称轴方程为x= (kZ), 令k=1,得x= ,故选A. A 4.下列函数中,周期为,且在 上为减函数的是 ( ) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 答案 A 函数的周期为,排除C、D. 函数在 上是减函数,排除B,故选A. A 5.函数y=3-2cos 的最大值为 ,此时x= . 答案 5; +2k(kZ) 解析 函数y=3-2cos 的最大值为3+2=5,此时x+ =+
3、2k(kZ), 即x= +2k(kZ). 考点一 三角函数的定义域与值域 考点突破 典例1 (2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=asin x- cos x(aR)的图象 经过点 . (1)求f(x)的最小正周期; (2)若x ,求f(x)的取值范围. 解析 (1)因为函数f(x)=asin x- cos x的图象经过点 , 所以f = a- =0,解得a=1. 所以f(x)=sin x- cos x=2sin . 所以f(x)的最小正周期为2. (2)因为 x ,所以 x- . 所以当x- = ,即x= 时, f(x)取得最大值,最大值是2; 当x- = ,即x= 时, f(x)取得最小
4、值,最小值是-1. 所以f(x)的取值范围是-1,2. 方法技巧 三角函数值域的求法 (1)利用y=sin x和y=cos x的值域直接求; (2)把所给的函数式变换成y=Asin(x+)+b(或y=Acos(x+)+b)的形式 求值域; (3)把sin x或cos x看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域; (4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域. 1-1 函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 . 答案 解析 设t=sin x-cos x,则- t ,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则sin x
5、cos x= , y=- +t+ =- (t-1)2+1. 当t=1时,ymax=1;当t=- 时,ymin=- - . 函数的值域为 . 1-2 (2018北京海淀期末)已知函数f(x)=cos 2xtan . (1)求函数f(x)的定义域; (2)求函数f(x)的值域. 解析 (1)x- k+ ,kZ,解得xk+ ,kZ. 所以,函数f(x)的定义域为 . (2)f(x)=cos 2xtan =(cos2x-sin2x) =(cos x-sin x)(cos x+sin x) =-(cos x-sin x)2=2sin xcos x-1=sin 2x-1. 因为xk+ ,kZ, 所以2x2
6、k+ ,kZ, 所以sin 2x-1, 所以函数f(x)的值域为(-2,0. 典例2 (2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0) 的最小正周期为. (1)求的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 考点二 三角函数的单调性与周期性 解析 (1)因为f(x)=2sin xcos x+cos 2x =sin 2x+cos 2x = sin , 所以f(x)的最小正周期T= = . 依题意, =,解得=1. (2)由(1)知f(x)= sin . 函数y=sin x的单调递增区间为 (kZ). 由2k- 2x+ 2k+ (kZ), 得k- xk+ (k
7、Z). 所以f(x)的单调递增区间为 (kZ). 规律总结 (1)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中0)的函数的单调区间 时,要视“x+”为一个整体,通过解不等式求解.如果0,那么一定要 先借助诱导公式将x的系数转化为正数,防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复 合函数单调性规律“同增异减”. (3)求三角函数的最小正周期时,一般地,经过恒等变形把三角函数化为 “y=Asin(x+)”或“y=Acos(x+)”或“y=Atan(x+)”的形式,再 利用周期公式求解即可. (4)求含有绝对值的三角函数的单调区间及周期时,通常要画
8、出图象,结 合图象求解. 2-1 (2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=sin x(cos x- sin x). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在x0,上的单调递增区间. 解析 (1)因为f(x)=sin x(cos x- sin x) =sin xcos x- sin2x= sin 2x+ cos 2x- =sin - , 所以函数f(x)的最小正周期T= =. (2)由2k- 2x+ 2k+ ,kZ,得 2k- 2x2k+ ,kZ, 所以k- xk+ ,kZ. 所以函数f(x)在x0,上的单调递增区间是 和 . 考点三 三角函数的奇偶性与对称性 典例3 (1)
9、函数y=1-2sin2 是 ( ) A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 (2)(2015北京朝阳一模)函数f(x)=2sin cos 图象的一条对称 轴方程是 ( ) A.x= B.x= C.x= D.x= (3)若函数y=cos (N*)图象的一个对称中心是 ,则的最 小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 (1)A (2)C (3)B 解析 (1)y=1-2sin2 =cos =-sin 2x,是最小正周期为的 奇函数. (2)由题意可知f(x)=2sin cos =sin ,令2x- = +k,k Z,
10、解得x= + ,kZ.故选C. (3)由题意知 + =k+ (kZ) =6k+2(kZ),又N*,min=2,故 选B. 1.求f(x)=Asin(x+)(A,0)图象的对称轴,只需令x+= +k(kZ), 求x;求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令x+=k(kZ),求x.求g(x)= Acos(x+)(A,0)图象的对称轴,只需令x+=k(kZ),求x;求g(x)图 象的对称中心的横坐标,只需令x+=k+ (kZ),求x.求y=Atan(x+) (A,0)图象的对称中心的横坐标,只需令x+= (kZ),求x. 方法技巧 2.函数f(x)=Asin(x+)(A,0)的奇偶性 若f(x)=Asin(x+)(A,0)为偶函数,则当x=0时, f(x)取得最大值或最小 值;若f(x)=Asin(x+)(A,0)为奇函数,则当x=0时, f(x)=0. 3-1 已知函数f(x)=sin(2x+)的图象关于直线x= 对称,则可能是 ( ) A. B. C.- D. 答案 B 函数f(x)=sin(2x+)的图象关于直线x= 对称,2 +=k + ,kZ,=k+ ,kZ,当k=0时,= ,故选B. B
