三角形的中位线讲解

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1、1. 了解三角形的中位线及其性质，并会简单的应 用。 3.在探索过程中发展合理的推理意识、主动探究 的习惯和如何添加辅助线的思想。 学习目标 自学课本P.86，解答下列问题。 1、 叫做三角形的中位 线，一个三角形有 条中位线。 2.在练习本上画出一个三角形,并画出它的一 条中位线。 连接三角形两边中点的线段 3 自主学习 三角形的中位线三角形的中位线 三角形的中位线三角形的中位线 温馨提示 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 三角形有三条中位线 三角形的中位线和三角形的中线 不同 E D F A C B 获取新知 你还能画出几 条三角形的中 位线？ （1）相同之处都和边的中点有关； （

2、2）不同之处： 三角形中位线的两个端点都是边的中点； 三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端 点是三角形的顶点。 CB A ED 概念对比 C B A D中线DC 中位线DE 三角形的中位线有什么性质？ 如图，DE是ABC 的一条中位线 (1)量一量DE,BC的长是多少？你能作出什 么猜测？ (2)观察图形中的ED与BC,猜测DE 与BC 位置 关系吗？ C A B D E 观察猜想 在ABC中，中位线 DE和边BC什么关系? DE和边BC关系 数量关系： 位置关系：DEBC A BC DE DE= BC. 2 1 结论：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半. D A BC E 如

3、图：在ABC中，D是AB的中点，E 是AC的中点。 则有： DEB C,DE= BC. 2 1 能说出理由能说出理由 吗吗? ? 怎样将一个三角形纸片剪成两部 分，使分成的两部分能拼成一个 平行四边形？ (1)剪一个三角形,记为ABC; (2)沿中位线DE将 ABC剪成两部分 ,并将ADE绕点E 顺时针旋转180得 四边形BCFD. A BC DE F 四边形BCFD是平行四边形吗? 为什么？ 四边形BCFD是平行四边形 D E BC A F A B C DEF DE=EF 1=2 AE=EC ADE CFE 证明：如 图，延 长DE 到 F，使 EF=DE ，连 结CF. AD=FC 、A=

4、ECF ABFC 又AD=DB BD CF且 BD =CF 四边形BCFD是平行四边形 还有另外的证法吗？ DFBC，DFBC 又 即DEBC 已知：在ABC 中，DE是ABC 的中位线 求证：DE BC，且DE= BC 。 1 2 A B C ED F 证明：如图，延长DE至F, 使EF=DE， 连接CD、AF、CF AE=EC DE=EF 四边形ADCF是平行四边形 AD FC 又D为AB中点， DB FC 四边形BCFD是平行四边形 DE/ BC 且DE=EF=1/2BC C ED F B A 证法三：过点C作AB的平行 线交DE的延长线于F CFAB， A=ECF 又AE=EC，AED

5、=CEF ADECFE AD=FC 又DB=AD， DB FC 四边形BCFD是平行四边形 DE/ BC 且DE=EF=1/2BC 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边 的一半。 C A B D E 用符号语言表示 DE是ABC的中位线 DEBC， DE= BC. 2 1 数量关系 位置关系 (1)证明平行 (2)证明一条线段是另一条线 段的2倍或 A B C D E 三角形的中位线定理:三角形的中位线 平行于第三边，并且等于第三边的一半. 三角形的中位线定理的主要用途： 第三边 巩固新知 .三角形的中位线_第三边,并 且_第三边的_ 2如图：在ABC中，DE是中 位线。

6、 （1）若ADE=60，则B= ; （2）若BC=8cm，则DE= cm. （3）DE +BC=12cm,则BC= 60 4 A B C D E D 8cm 平行于 等于 一半 3.如图, MN 为ABC 的中位线, 若ABC =61则AMN = , 若MN =12 ,则BC = . A M B C N 61 24 5. 如图, ABC 中, D ,E 分别为AB, AC 的中点,当BC =10时,则 DE = . A D B CE 5 6.如图,已知ABC中, AB = 3,BC=3.4 AC=4 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的 中点,则DEF的周长 是 . A BC D E F

7、5.2 7、如下图：在Rt ABC中， A=90,D、E、F分别是各边中 点, AB=6cm，AC=8cm，则 DEF的周长= cm,四边形 ADFE是 形。 12 E F B A C D A C B E D F 初试身手练习1.如图，在ABC中，D、E分别是 AB、AC的中点 若ADE=65，则B= 度，为什么？ 若BC=8cm，则DE= cm，为什么？ 65 4 若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， 则DEF的周长=_ 练习1.如图，在ABC中，D、E、F分别 是AB、AC、BC的中点 9cm 若ABC的周长为24，DEF的周长是_12 1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与

8、原三角形的周长有什么 关系？ 探究活动 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？ 图中有_个平行四边形 若ABC的面积为24，DEF的面积是_ 3 3 6 6 设 计 方 案 ： F （中点） (中点)DE(中点) A BC 1、 三角形三条中位线围成的三角形的周 长是原三角形的周长的一半。 2、三角形三条中位 线围成的三角形的 面积与原三角形的 面积的 4 1 定理应用 已知：在四边形ABCD中，ADBC，P是对 角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的 中点求证：PMNPNM 已知：如果，点D、E、F分别是 ABC的三边的中点 （1 1）若）若AB=8cmAB

9、=8cm，求，求EFEF的长；的长； （2 2）若）若DE=5cmDE=5cm，求，求BCBC的长的长 （3 3）若增加）若增加MM、N N分别分别BDBD、BFBF的中点，问的中点，问 MNMN与与ACAC有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？ 大显身手 方法点拨： 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线 定 理 应 用： 定理为证明平行关系提供了新的工具 定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 一半 提供了一个新的途径 例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分 已知： 如图所示，在AB

10、C中，ADDB，BEEC， AFFC 求证： AE、DF互相平分 证明 连结DE、EF ADDB，BEEC， DEAC（三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一半） 同理EFAB 四边形ADEF是平行四边形 AE、DF互相平分（平行四边形 的对角线互相平分） 变式练习 1已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD ，E、F、G分别是BD、AC、BC的中点 求证：EFG是等腰三角形 9.5 三角形的中位线 A B C D EF G 拓展探究 已知：如图，在ABC中，D、E、F分别是各边 的中点，AH是边BC上的高 求证：DHFDEF 9.5 三角形的中位线 A B C D E F H 知识总

11、结： 1.定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形 的第三边，且等于第三边的一半。 数学思想：转化思想 1.把四边形的问题转化为三角形问题解决 2.线段的倍分问题可转化为相等问题来解决可转化为相等问题来解决. . 数学方法：在三角形的中位线定理三角形的中位线定理的发现过程用到 画图、测量、猜想、验证、证明等数学方法 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. 猜想四边形EFGH的形状并证明。 A B C D E F G H E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？ 要使EF成为一个三角形的中

12、位线应怎样添加辅助线？ 证明：如图，连接AC EF是ABC的中位线 同理得： 四边形EFGH是平行四边形 典例示范 答： 四边形EFGH为平行四边形。 从例从例1 1中你能得到什么结论？中你能得到什么结论？ 顺次连接顺次连接四边形各边中点四边形各边中点的的 线段组成一个平行四边形线段组成一个平行四边形 顺次连接顺次连接矩形矩形各边中点的线各边中点的线 段组成一个段组成一个菱形菱形 （1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？ （2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？ 平行四边形 矩形 （3）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边形是什么？ 正方形 （4）顺次连结矩形各边 中

13、点所得的四边形是什 么？ （6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？ 菱形 平行四边形 （5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？ 结 论 原四边边形两条对对角线线 顺顺次连连接四边边中点所得四边边形 互相垂直矩形 相等菱形 互相垂直且相等正方形 既不互相垂直也不相等平行四边形 实际上，顺次连接四边形各边中点所得 到的四边形一定是平行四边形，但它是否特 殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直 或者是否相等，与是否互相平分无关. 它的对角线是否垂直 或者是否相等 它的对角线是否垂直 或者是否相等 1、顺次连接四边形各边中点得到的是 2、顺次连接矩形各边中点得到的是 3、顺次连

14、接菱形各边中点得到的是 4、顺次连接四边形各边中点得到正方形，那么这个四边形是 5、顺次连接四边形各边中点得到菱形，那么这个四边形是 6、顺次连接对角线互相平分的四边形各边中点得到的是 7、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的是 8、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的是 游 戏 结 束！游 戏 结 束！ 真聪明！ 返 回 错了！请重新返回思考一下 ! 返 回 你真聪明！ 返 回 请你慎重选择！返回再思考 返 回 返 回 错啦！仔细考虑一下 返 回 很好！继续保持 返 回 错了！好好思考 返 回 真聪明！继续努力 返 回 答错了！返回吧 返 回 真聪明！ 返 回 答错了！ 返 回 真聪明！ 返 回 返 回 错啦！仔细考虑一下 真聪明！ 返 回 返 回 错了！好好思考 方法点拨： 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 有三角形而无中位线,要连结两边中点