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1、节 二元一次不等式(组)及简单的线性 规划问题 总纲目录 教材研读 1.二元一次不等式表示的平面区域 考点突破 2.线性规划的有关概念 考点二 目标函数的最值与范围问题 考点一 二元一次不等式（组）表示的平面区域 考点三 线性规划的实际应用 1.二元一次不等式表示的平面区域 一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+ By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成 虚线 以 表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所 表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线 . 对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(
2、x,y)代入Ax+By+C,所得 教材研读 到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0), 由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0, 对于A,当x=-3,y=4时,-9+8+50,故满足题意. 同理,B、C、D均不满足题意,故选A. A 2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最 大值为 ( ) A.-1 B.3 C.7 D.8 C 答案 C 点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图: 设z=2x-y,则y=2x-z, 当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最
3、大值,最大值为24-1=7. 3.(2017北京东城二模)在平面直角坐标系中,不等式组 所表示 的平面区域的面积为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 A 答案 A 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分. 由 得A(1,1). 故所求面积S= 21=1.故选A. 4.(2016北京海淀一模)若x,y满足 则z= x+y的最大值为( ) A. B.3 C. D.4 C 答案 C 画出不等式组表示的平面区域如图所示. 将目标函数z= x+y变形为y=- x+z. 先画出l0:y=- x.将l0向上平移至经过点A时z有最大值, 联立 得A(1,3). 故zmax= 1+3= . 5.(20
4、16北京海淀期末)若点(2,-3)不在不等式组 表示的平面 区域内,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,0) B.(-1,+) C.(0,+) D.(-,-1) B 答案 B 画出不等式组表示的平面区域如图所示. 因为点(2,-3)不在不等式组 表示的平面区域内,则点(2,-3)在 直线ax-y-1=0的下方, 故-3-1. 典例1 (1)(2017北京西城二模)在平面直角坐标系中,不等式组 表示的平面区域的面积是 ( ) A. B. C.2 D.2 (2)(2016北京朝阳二模)已知关于x,y的不等式组 所表示的平 面区域D为三角形,则实数k的取值范围是 . 考点一 二元一次不等式(组)
5、表示的平面区域 考点突破 答案 (1)B (2)(-,-20,1) 解析 (1)作出可行域,如图所示. 易知B(-2,0),由 得 故A(1, ). SAOB= 2 = . 故选B. (2)不等式组 所表示的平面区域为图中AOB及其内部. 2x-y=k可化为y=2x-k. 当k=0时,区域D为三角形,符合题意. 当k0时,将y=2x向下平移,直到经过点B(1,1)时,区域D由三角形缩为 一个点B,将B(1,1)代入y=2x-k得k=1. 若要满足题意,则0k1. 当k或时,边 界应画为虚线,特殊点常取原点. 1-1 (2016北京顺义一模)在平面直角坐标系中,若不等式组 (a为常数)表示的区域
6、面积为3,则a的值为 ( ) A.-5 B.-2 C.2 D.5 D 答案 D 不等式组 (a为常数)表示的区域如图所示.由题 意知阴影部分的面积等于3, AC=6. 点C的坐标为(1,6). 代入ax-y+1=0得a-6+1=0,解得a=5. 故选D. 1-2 (2018北京西城高三期末)已知点M(x,y)的坐标满足条件 设O为原点,则|OM|的最小值是 . 答案 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图,由题意知,原点到直线x+y -1=0的距离就是|OM|的最小值,由点到直线的距离公式,得|OM|min= = . 典例2 (1)(2016北京西城二模)设x,y满足约束条件 则z=x+3y
7、的 最大值是 ( ) A. B. C.- D.1 (2)(2015北京丰台一模)若变量x,y满足约束条件 则z=x+2y的 最大值是 . 考点二 目标函数的最值与范围问题 命题角度一 转化为截距 答案 (1)B (2)6 解析 (1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示. 画出l0:x+3y=0. 将l0向上平移至经过点A时z最大. 由 解得 A . zmax= +3 = . (2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域(图略),易 知当z=x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z取得最大值,即zmax=2+22=6. 典例3 (2017北京海淀一模)若x,y满足 则 的最
8、大值是 . 命题角度二 转化为斜率 答案 解析 作出可行域,如图中阴影部分所示. 表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的连线的斜率,易得直线AO斜率最 大,由 解得A . = . 典例4 (2017北京西城一模)实数x,y满足 则x2+y2的最大值 是 ,最小值是 . 命题角度三 转化为距离 答案 5; 解析 作出可行域,如图中阴影部分所示. x2+y2的几何意义是可行域内的点(x,y)到原点距离的平方.连接OC.易得 线段CO最长,C(1,2),CO= , (x2+y2)max=5. 过点O作直线2x+y-2=0的垂线,垂足为D,易得线段OD最短,由SOAB= 1 2= OD OD= .
9、 (x2+y2)min= = . 典例5 (2016北京西城期末)设x,y满足约束条件 若z=x+3y的最 大值与最小值的差为7,则实数m= ( ) A. B.- C. D.- 命题角度四 含参问题 答案 C C 解析 由约束条件 作出可行域如图中阴影部分所示, 联立 解得A(1,2), 联立 解得B(m-1,m), 化z=x+3y,得y=- + . 由图可知,当直线y=- + 过点A时,z有最大值,为7, 当直线y=- + 过点B时,z有最小值,为4m-1, 由题意得7-(4m-1)=7, 解得m= . 故选C. 1.线性规划问题的解题步骤 (1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所
10、表示的平行 直线系中过原点的那一条直线; (2)平移将直线平行移动,以确定最优解的对应点的位置; (3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可 求出最值. 方法技巧 2.常见代数式的几何意义 (1) 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; (2) 表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离; (3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; (4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. 2-1 (2015北京西城二模)已知x,y满足 若z=x+my的最大值为 , 则实数m= . 答案 2 2 解析 在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域,可知该区域 是以点(
11、0,0), , 为顶点的三角形区域(包含边界),显然m0,1, 当- -1,即0m1,不符合题意;当-1- 1时,目标函数z=x+my 在点 处取得最大值,则有 = + m,解得m=2,符合题意;当- 1,即 -1m0,不符合题意;当0- 1,即m-1时,目标函数z=x+my在点(0,0) 处取得最大值,且zmax=0,不符合题意.综上所述,实数m的值为2. 典例6 (2016北京西城一模)在某校冬季长跑活动中,学校要给获得 一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖 和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比 值不得高于 ,且获得一等奖的人数不
12、能少于2人,那么下列说法中错误 的是 ( ) A.最多可以购买4份一等奖奖品 B.最多可以购买16份二等奖奖品 C.购买奖品至少要花费100元 D.共有20种不同的购买奖品方案 考点三 线性规划的实际应用 D 答案 D 解析 设一等奖人数为x,二等奖人数为y,由题意有 即 如图,阴影部分中的整数点即为可行解. 易得A(4,12),B(2,6),C(2,16),由平面区域知2x4,6y16. 故最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品. 设目标函数为z=20 x+10y,经过点B(2,6)时z有最小值, zmin=202+610=100,故购买奖品至少花费100元.综上A,B,C
13、正确.而 该平面区域内有整数点18个:(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(2,11),(2,12),(2, 13),(2,14),(2,15),(2,16),(3,9),(3,10),(3,11),(3,12),(3,13),(3,14),(4,12),故共 有18种不同的购买奖品方案.D错误. 方法技巧 解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答. 3-1 (2015北京西城一模)某赛事组委会要为获奖者订购某工艺品作为 奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件,制作一等奖和二等奖奖品所 用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异,现有甲、乙两个工厂可 以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有 限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,甲、乙两厂的具 体收费情况如下表: 奖品 工厂 收费(元/件) 一等奖二等奖 甲500400 乙800600 则组委会定购该工艺品的费用总和最低为 元. 4 900
