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1、L A 码性质的研究 北京邮电大学信息工程学院杨凡，北京邮电大学邹永忠，北京邮电大学李道本 内謇擅蔓：首次讨论rL A 码的i 个参数之间的关系并分析了L A 码自相关函数同其自身参数K o 之 间的密切关系。并且首次证明rL A 码白相关甬数比较理想时民必须满足的一个充分条件。这个充 分条件对L A 码的J 芋列设计和采用L A 码的系统帧结构的i 殳计都有着重要的理论和实践指导意义。 1 、介绍 L A S C D M A 系统采用了不同于传统C D M A 系统的扩频地址码1 1 】【2 1 。它的发明者李道本教授在 P C T C N 0 0 0 0 0 2 8 及其随后的一系列专利中
2、，改变了传统编码方法，创造出了一种具有零相关的地址 码编码方法。该系统采用了L S 码做扩频地址码，用L A 码来区分小区并起到降低小区干扰的作用 3 】。虽然已经有L A S C D M A 系统的很多良好的仿真结果【3 】，但是详细分析L A 码的性质尤其是讨论L A 码自相关函数性质同其自身参数之间的关系的文献却很少见到。本文分析了在L A S 2 0 0 0 + 系统中采用 的L A 码的性质，并首次讨论了L A 码向相关函数同其参数J r 0 之间的关系并首次推导出了L A 码自 相关函数理想时酥必须满足的充分条件。这个充分条件对L A 设计和系统的帧结构的设计都有着重 要的理论和实
3、践指导意义。 2 、L A 码 L A 码有良好的自相关和互相关性质，并日有降低邻小区干扰的作用【4 】。下面我们来讨论L A 码 的特点和性质。 21L A 码的参数及其相互关系 一个L A 码由i 个参数决定：( ，瓦，置) ；N 是L A 码中脉冲的个数，也就是L A 码中时隙的个 数；g o 是最短时隙长度，通常就是插人L A 码时隙中的L s 码总长度( 在本文讨论的L A 帧结构中就 是这样) ；K 是L A 码总长度。L A s 2 0 0 0 + 系统使用的L A 码是( 1 6 ，1 3 6 ，2 3 8 7 ) 。 这j 个参数并不是互相独立的，它们的关系如下： K = N
4、 以+ G a p 其中G a p + 是添加到一个L A 码所有时隙中的g a p ( 即插入的0 ) 数目的总和；在各个时隙中 添加的g a p 数目和位置集中体现了L A 码结构。两个L A 码即使( ，K ) i 个参数相同，但是如果 各个时隙添加的g a p 的数目不完全相同，那么也是不同的L A 码，有着不同白相关和互相关性质。 2 2L A S 2 0 0 0 + 系统L A 码 图1 L A S 2 0 0 0 + L A 码脉冲位置图 4 1 3 时隙长度( c h i p )脉冲位置添加的g a p ( c h i p ) 113 610 213 813 72 31 402
5、 7 54 414 24 156 51 4 45 5 78 61 4 67 0 l1 0 714 88 4 7l2 815 09 9 514 9l5 21 1 4 516 1 01 5 41 2 9 7l8 1 115 61 4 5 1 2 0 1 2l5 81 6 0 7 2 2 l316 017 6 52 4 1 41 6 219 2 5 2 6 151 6 420 8 72 8 16l3 72 2 5 11 网l 和表l 充分体现了L A S 2 0 0 ( ) + 系统L A 码的结构特点。它添加的g a p 总数为： G a p = K N - K = 2 3 8 7 1 6 x 1
6、 3 6 = 2 1 1 2 3L A 码性质分析 我们来研究( 1 6 ，1 3 6 ，2 3 8 7 ) L A 码的性质。为了更加的一般化，我们认为最小的时隙长度为变量托 那么K = N X o 十G a p = 1 6 十2 1 1 ，所以研究的L A 码为( 1 6 。K 1 6 t 民+ 2 1 1 ) ，它的数学表达 式如下： 1 6 z ( f ) = 6 ( t - a ) ( 1 ) 1 n = l 其中= ( ，l 1 ) + ( n 一1 ) ( 珂一2 ) + 口，( 2 ) 甄l ，在L A s 2 0 0 0 + 中取口= l 。 它的自相关函数可以写成： 1 6
7、 o ( f ) = 工( 蛳( H f ) = 8 ( r - ( a 。一以) ) ( 3 ) 一”ne n = l 由于o ( f ) = k ( 一f ) 不失一般性，只考虑当丁O 时，( 3 ) 式可以写成： o ( f ) = z ( f ) 石( f + f ) = 6 ( r - ( a 。一) ) + 1 6 占( f ) ( 4 ) 根据( 4 ) 式，我们可以得出L A 码的以下性质： 性质2 1 当l n 川1 6 时，a 。一口。0Na 。- - a 。K o 。 证明： 口。一口。= K o ( ， 一1 ) + ( ，栉一1 ) ( ，押一2 ) 一民( 甩一1
8、) 一( n 一1 ) ( n - 2 ) = ( m 一九) ( R + + t l - - 3 ) 根据已知条件有：m - n l 和m + H 3 ，所以有 q 。一。= ( m 一以) ( + 小+ r 一3 ) + m + n 一3 R 当? Y = 2 ，n = 1 时取等号，证毕。 4 1 4 ( 5 ) ( 6 ) 性质2 2k ( O ) = 1 6 。 证明：根据性质2 I 和( 4 ) 式很容易得出。 性质2 3 当0 l 叫 K o m t ，k ( f ) = 0 。 证明：当o I 爿 时，不失一般性考虑o f 民时， ，k ( f ) = 艺x ( f ) x o
9、 + f ) = 8 ( r - ( a 。一。) ) + 1 6 - 占( f ) = J ( f 一( a ，一以。) ) 根据性质2 1 有- - a n K o ，而o H 民，使得名( 盯) 2 ，即o ( ) = l 或r 搿( ) = 0 ，证毕。 综上，原命题得证。 定理z 2 当K o 9 8 时对于任意1 S ，l ，m ，k ，Z 1 6 ，当( 小，n ) ( ，f ) 时，a m a 。吼一a I 成立。 证明：不失一般性，考虑f 0 ，根据( 5 ) 有 一a n = ( m n ) ( + m + n 一3 ) ， 为了分析方便，不妨设m = n + k 。k =
10、 l 2 ， a 。+ t a n = t ( K o + 2 n + k 3 ) ， 考察函数 ( 7 ) 1 5 ，n = 1 ，2 ，( 1 6 一) 。( 7 ) 写成 ( 8 ) 一( 女) = 女( K o + 2 n + k - 3 ) = 女2 + ( K + 2 n - 3 ) k 有K o + 2 n 一3 0 ，所以在k ( O ，+ 一) 时，五( ) 关于自变量女是单诵递增函数。 4 1 5 2 0 0 5 年无线及移动通信委员会学术年会论文集 有2 k 0 ，所以n E ( O ，+ 。口) 时，五伽) 关于自变量n 是单调递增函数。 那么有丘( n ) “。= 一
11、( 1 ) = t ( + 女一1 ) ，五( H ) 。= f , 0 6 一女) = t ( K o + 2 9 一女) 。 记m J n 。= Z ( t ) 。，m a x 。= Z ( t ) 。，m i n t = f 2 ( n ) “。，m a x = 厶( H ) 。 对于任意1 t , m ，k ，S 1 6 ，当，n ) ( t ，f ) 时，d 。一a n 譬a k a t 命题成立的一个充分条件是 r a i n ：l m a x n ；l m i n n ；2 m a x H ；2 m i n n ；1 5 = m a x H ；1 5 ( 9 ) 或者是： m i
12、 n t ：L m a x t ：l m i n ；2 m a x ；2 m i n t ；1 5 = m a x t ；1 5 ( 1 0 ) ( 9 ) 式解为： 1 5 R + 3 0 n 一1 8 0 K o + 2 ( n + 1 ) 一2 化简为：K 0 9 0 2 H ( 1 1 ) 7 ( 1 0 ) 式解为： ( + 2 9 一k ) 2 k ( 1 4 一)( 1 2 ) 所以只要满足( 1 1 ) 或者( 1 2 ) 命题就可以成立。考虑到k = l ，2 ，1 5 ，H = l ，2 ，( 1 6 - k ) ， 要想( 1 1 ) 恒成立，必须 9 8 ，证毕。 定理
13、2 3 当 9 8 时，对于L A 码( 1 6 ，( 1 6 十2 J 1 ) ) ，自相关函数o ( ) = l 或 k ( f ) = 0 。 证明：由性质3 2 和性质3 3 以及定理3 1 和定理3 2 得出。 定理2 4 对于L A 码( 1 6 ，( 1 6 K o 十2 1 1 ) ) ，它的自相关函数如下 o ( f ) 1 6 f = 0 0 1 f 珞 f = a 。一d = ( t n n ) ( K o + m + n 一3 ) ， l S n n l 1 6 0 ， e l s e 当9 8 时，l X 3 ；当心 9 8 时，膏= l 。 证明：当K o 9 8 ，显然满足。 下面给出L A 码自相关函数( A C F ，A u t o C o r r e l a t i o n f u n c t i o n ) 图以说明定理2 1 3 和定理2 4 。 4 1 6 图2A C F ( K o = 1 ) 罔4 A C F ( K o = 2 0 ) 4 、结论 图6 A C F ( K = 9 9
