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1、第三章 纳维-斯托克斯方程组 的精确解 n在第二章里建立了粘性流体动力学的基本方程组，从 本章开始将讨论由此方程组描写的粘性流体运动的物 理属性和特征以及方程组的解法。一般情况下寻求纳 维-斯托克斯方程组精确解的问题在数学上遇到了巨大 的困难，这主要是由方程组的非线性引起的。由于这 些困难，迄今只在一些特定的条件下求得了方程组的 精确解。这些精确解从不同方面反映了粘性流体运动 的性质。由于对大多数实际关心的问题不能求得精确 解，因而不得不引入不同程度的物理的或数学的近似 以示得其近似解，其中边界层近似则是很好的例子。 随着高速计算机的发展，数值求解起着越来越大的作 用。这些将在以后各章中讨论。
2、 n迄今得到的精确解几乎都是对不可压常值物性 的流体做出的，这种流体的密度、粘性系数和 热传导系数为常数。这时不需将能量方程与质 量和动量方程耦合，可在解得速度、压力后单 独求解温度（2-4） n在第七章将说明，在高雷诺数下流体运动将变 得不稳定，可能最终转变为湍流。下面将要讨 论的这些精确解尽管在高雷诺数下其数学解析 关系仍是正确的，但这种解是不稳定的，因而 物理上是不存在的。所以这些精确解只对低雷 诺数有效，即本质上是层流解。 n在开始讨论真正的精确解之前还应附带指出， 不可压位势流的解也可看成是纳维-斯托克斯方 程组的精确解，因为这时位势函数也使粘性项 变为零。 n但是位势解一般不能满足
3、无滑移边界条件，因为， 若在固壁边界处保证法向速度为零，则由位势函数 可决定其切向分速，因而一般情况下不能保证为零 。所以，不能把位势流看成是纳维-斯托克斯方程的 有物理意义的解。但也有例外情况，当固体边界运 动时，位势函数可能构成纳维-斯托克斯方程的有实 际意义的解（见3-3）。 n本章讨论的精确解包括两大类。第一类是解析 解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且 描述关系中不再包含导数或积分号。第二类是 相似解，它在二维（包括轴对称）问题时可以 化成一维问题，即可由常微分方程（组）的解 表示。在所得出的这些常微分方程（组）中， 有些至今未找到解析解，而只有数值解。由于 这些常微分方程（组）
4、具有通用性，其数值解 也有通用性，故常列表给出。 3-1 平行定常流动中的 速度分布 1.二维泊肃叶流动 2.库埃特流动 n这是另一种平行直壁之间 的流动，其中一个直壁静 止不动，另一直壁在自身 所在平面内沿流向移动（ 图3.1.2）。这时方程 (3.1.3)仍然成立，因而式 （3.1.5）也成立，但边 界条件应改为 n这种特殊情况称为简单库埃特流动，即流体完全由运 动壁面通过粘性力而拖动。一般的库埃特流动是在这 简单流动上迭加一个由式（3.1.6）描写的有压力梯度 的流动。压力梯度的影响与如下的无量纲压力梯度B 有关 n图（3.1.2）上表示出各种压力梯度下的速度分布。对于B 0，即压力沿流
5、动方向下降，称为顺压力梯度，在整个 槽道内速度为正值。当B0，压力沿流动方向增加，称 为逆压力梯度。当B小于某个负值后，槽道内靠近静止壁 面的某些区域内的速度为负，即出现逆流。开始出现逆 流的条件是 3.哈根-泊肃叶流动 n这是直圆管中的平行 流动。为保证是真正 的平行流动，需要满 足两个条件：第一， 以管道直径为特征长 度的雷诺数应低于某 临界值以保证流动为 层流（第七章）；第 二，管道足够长，以 形成充分发展了的管 道流(10-6)。 3-2 平行定常流动中的 温度分布 n前已指出(2-4)，不可压缩流体的流动是 非耦合的，可以由质量和动量方程解出 速度和压力场后再用能量方程求解温度 场。
6、不可压缩流体的能量方程常用式（ 2.3.18）表示。 n对于简单的平行定常流动，能量方程也 可进一步简化，并利用前面得出的速度 场和压力场的解析解求得温度场的解析 解。 1.二维泊肃叶流动 n应当指出，与耗能有关的温度分布在中心线处最高 ，但这并不意味着中心线处的耗散最高，恰恰相反 ，由速度分布式（3.1.6b）可见，中心线处耗散最低 ，而壁面附近耗散最高。由式（3.2.4）可见，温度 分布是由耗散分布与导热特性决定的，即是说，一 种给定的耗散分布要求一种相应的温度分布才能将 耗散生成的热量传导出去，以达到温度的平衡状态 。容易看出，只当在壁面附近温度梯度有较高的空 间变化率时才能将当地生成的
7、大量耗散热传导出去 。 2.库埃特流动 3-3 同轴旋转圆筒间的 定常流动 3-4 平行非定常流动 1.直壁突然加速 3-8 可压缩流体的库埃特 流动 n本章以前各节所考虑的解都是针对密度及其他输运 特性系数为常数的流体的。本节将以库埃特流动为 例考虑压缩性及其他输运特性变化的影响。由于密 度不再是常数，必须把能量方程与质量、动量方程 耦合起来，一道求解。加之粘性系数和热传导系 数k可能发生变化，使问题更加复杂。因而，对于 可压缩粘性流动至今只得到了很少数几个准确解。 且所有的准确解都仅适于简化的情况，即只有一个 速度分量随一个坐标变化。有两个典型的例子： n（1）正激波，在激波厚度内只有沿流向的梯度； n（2）可压缩的库埃特流动，这是沿横向有梯度的 流动。我们只讨论后者。 1.可压流库埃特流动的定解问题 2.解析解 3.复温因子 n许多工程技术问题使我们关注高速运动物体表面的温 度。例如空气飞行器再进入地球大气层时由于速度很 大可能达到很高的表面温度。由于多种原因，壁面温 度并不等于外流滞止温度，现用库埃特流为例研究这 一问题。 4.雷诺比拟
