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1、10-3 单自由度体系的受迫振动 受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。 k FP (t) 弹性力：k y，惯性力：和荷载FP (t) 之间的平衡方程为: 1、简谐荷载： y(t) m FP (t) 特解： 单自由度体系强迫振动的微分方程 最大静位移 yst ：是把动荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移。 特解可写为： 通解可写为： 设t = 0 时的初始位移和初始速度均为零，则： 过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在） 按自振频率振动 按荷载频率振动 平稳阶段：最大动位移（振幅）为： 动力系数为： 重要的特性： 当
2、/ 0 时，1，荷载变化得 很慢，可当作静荷载处理。 当 0 / 1，并且随/ 的增大而增大。 当/ 1 时, 。即荷载频率接 近于自振频率时， 振幅 会无限增大。 称为“共振” 。通常把 0.75 式 (10-15) 称为 Duhamel 积分； 这就是初始静止状态的单自由度体系在任意 动力荷载作用下的位移公式。 初始位移 y0 和初始速度 v0 不为零在任意荷载作用下的位移公式: t 然后对加载过程中产生的所有微分冲量引起的动力反应进行叠加，即对上式 进行积分，可得总反应如下： 几种典型荷载的动力反应 突加荷载 FP (t) t FP yst y(t) t 0 23 质点围绕静力平衡位置
3、作简谐振动 短时荷载 FP (t) t u 阶段( 0 T/2 最大动位移 发生在阶段： 2）当u T/2 最大动位移 发生在阶段 = 2 1/6 1 1/2 2 动力系数反应谱 (与T和u之间的关系曲线) 线性渐增荷载 FP (t) t P0 tr 这种荷载引起的动力反应同样可由 Duhamel 积分来求解: 对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其 动力系数的反应谱如下： 01.02.03.04.0 1.4 1.2 1.0 1.6 1.8 2.0 tr FP0 动力系数反应谱 动力系数介于1与2之间。 如果升载很短，tr 4T，则接近于1，即相当于静荷载情况。 常取外
4、包虚线作为设计的依据。 1) 求柔度系数 例9-3-1 图示单自由度体系，已知FP0 = 5kN， m = 800 kg，EI = 4.5107 kN cm2，= 35（1/s），g = 9.8 m / s2。在平稳阶段，求C截面的最大位移和B截面 的最大弯矩。 解： C EI AB EI 4m2m C 1 C 1 A B 1 2 A B 2 m 2) 求自振频率 3) 求动力系数 4) 求(MB)max及ymax 9-4 阻尼对振动的影响 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生 非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些 结论也反应了结构的振动
5、规律，如： 事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也 不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构 的振动规律，就要研究阻尼。 阻尼的作用： 忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围
6、扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量； 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述 不同，目前主要有两种阻尼理论： *粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比： *滞变阻尼理论 关于阻尼，有两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 m S(t) I(t)
7、 P(t) y . . k m P(t) P(t) C平衡方程 4、阻尼对自由振动的影响 令及 设解为： 特征方程 特征值 一般解 （1）低阻尼情形 ( 1 ) 特征值一般解 令 由初始条件确定C1和C2； 设 得 其中 y t0 An An+1 讨论：（a）衰减周期运动 振幅 （b）阻尼对振幅的影响 例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振 动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。 k 2 k 2 W=mg 解：(1)大梁的重量,由 (2)自振频率 (3)阻尼特性 (4)6周后的振幅 (2) =1 原特征根 于是 1,2= -
8、（重根） 微分方程的解 由初始条件确定C1和C2 设得 y(t) t 0 临界阻尼Cr 因 阻尼比系数 三、有阻尼的强迫振动 单独由v0 引起的自由振动： 瞬时冲量ds = Pdt = mv0 所 引起的振动，可视为以v0 = Pdt/m，y0=0 为初始条件的自 由振动： 将荷载P(t)的加载过程 看作 一系列瞬时冲量： 总反应 P(t) t t EI= m 例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处 共计为m，加一水平力P = 9.8kN，测得侧移A0 = 0.5cm，然后突然卸载使结构 发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1 =0.4cm
9、。求结 构的阻尼比和阻尼系数c。 9.8kN 解： = k2 =m c2 = m2 2 （1）突加荷载P0 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 yst y(t) t 0 23 45 y(t) t 0 23 45 静 力 平 衡 位 置 具有阻尼的体系在 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=P0/m2的两倍， 然后逐渐衰减，最 后停留在静力平衡 位置。 （2）简谐荷载P(t)=Fsint 设特解为：y=Asin t +Bcos t代入（15-34）得： +Asin t +Bcos t 齐次解加特解得到通解： 自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。 纯强迫振动，平稳
10、振动， 振幅和周期不随时间而变化。 结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。 y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) (15-35a) 振幅：yp， 最大静力位移：yst=F/k=F/m2 动力系数与频率比/和阻尼比有关 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 / =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 几点注意： 随增大曲线渐趋平缓， 特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。 x b 2 1 = 共振时 当接近 时， 增加很快， 对 的数值影响也很大。在0.75 / 1.25(共振区)
11、内，阻尼大大减小了受 迫振动的位移，因此, 为了研究共振 时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽 略。在共振区之外阻尼对的影响较 小，可按无阻尼计算。 max并不发生在共振/=1时，而发生在， 由y=yPsin(t ) 可见，阻尼体系的 位移比荷载P=Fsin t 滞后一个相位角 ， 但因很小，可近似地认为： 当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主 要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向； 弹性力S，惯性力FI， 阻尼力R分别为： t q sin x 2 1 tF q sin -= m wx 2 2 -= 当=时,90 由此可见：共振时（=），S 与FI 刚好互相平衡， yst 有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为 无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才 出现位移为无限大的现象。 k=m2=m2
