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1、三、复数中的方程问题【教学目标】1掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法2掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题3在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用【教学重点】一元二次方程的根的讨论【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论，的根的应用【教学过程】一知识整理1实系数一元二次方程的根的情况设方程（，且），判别式（1）当时，方程有两个不相等的实数根：，（2）当时，方程有两个相等的实数根： （3）当时，方程有两个共轭虚根： ，2代数式（，）的因式分解利用，有3复系数一元二次方程根与系数的关系设方程（，且）的两个根为，则4方程的根方程有三个根，若记，则
2、有性质：（，），二例题解析【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式（1）；（2）【解答】解：（1）（2） 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】（1）若是实系数方程的根，求实数与；（2）若是方程的根，求实数与【解答】解；（1）由题意，是方程的另一根，则，所以，（2）将代入方程得，整理得，所以，解得【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】（1）已知，求的值（2）若，求的值【解答】解：（1）由，得，所以，所以（2）由，得，当时，则（），所以同理可得，当时，也有【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，
3、逻辑思维【题目】证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解【解答】证明：原方程化简为，设（，），代入上述方程，得，所以，消去，整理得，此方程的判断式，故无实数解所以，原方程在复数范围内无解【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于的二次方程有虚根，且此根的三次方是实数，求实数的值【解答】解法一：设方程的虚根为（，且），由为实数，得，所以方程的虚根为，由根与系数的关系，得，消去，得，解得或解法二：设方程的虚根为，则另一虚根为，因为，所以，因为，所以，即，由根与系数的关系，解得或三课堂反馈【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若是方程
4、（，）的一个根，则_【解答】答案：【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】已知，是实系数一元二次方程的两根，则_，_【解答】答案：，【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若是方程的一个虚根，则_【解答】答案：【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】在复数范围内解方程：（为虚数单位）【解答】解：原方程化简为，设（，），代入上述方程，得，所以，解得，所以，原方程的解为或四课堂小结1实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简化
5、2由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积3如果方程的系数含有虚数，则不能用来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，但根与虚数的关系仍成立这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解所以说，复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略五课后作业【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式：（1）_（2）_【解答】答案：（1） （2）【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】设一元二次方程（，）的一个虚根是，则实数_，_【解答】答案：，【属性】高三
6、，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算【题目】复数的平方根为_【解答】答案：，【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程（）有实根，且，求【解答】解：【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算【题目】方程中的解是（ ）A B C D【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知实数满足不等式，试判断方程有无实数根，并给出证明【解答】解；由已知，所以，所以方程的判别式，所以原方程无褛根【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】在复数范围内解方程【解答】解：把原方程化为，解得，【属性】高三，复数，
7、复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于的方程（）的两根为、（1）若，求的值；（2）若，求的值【解答】解：（1）因为，所以，所以，解得或（2）当、为实数，即，时，当时无解；当时，当、为一对共轭虚数时，即时，由，可知，则综上，或【题目资源】【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】1在复数范围内分解因式（1）；（2）；（3）【解答】解：（1）（2）（3）2若实系数一元二次方程有一个虚根为，则_，_【解答】答案：，【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】关于复数的方程的解集是_【解答】答案：【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空
8、题，易，运算【题目】方程有一个根是，则它的另一个根是_【解答】答案：【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】为实数，方程的一个虚根的模是，则_【解答】答案：【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，易，运算【题目】方程的复数解有（ ）A个 B个 C个 D无数个【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程（，）有一个根为（1）求，满足的关系式；（2）若此方程的另两个根为虚数，求实数的取值范围【解答】解：（1）由题意，即（2）由（1），故方程变为，即，所以方程的另两根就是方程的两根，故，即，所以，实数的取值范围是【属性】高三，复数
9、，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程有一个虚数根为，求的值【解答】解：由，得，将代入，得【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】设、是方程的两个虚根，且，则实数_【解答】答案：由题意，、是共轭虚数，所以，于是，即【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】已知关于的方程有实根，求实数的值【解答】解：设方程实根为，则，即，所以，所以，所以，解得或或【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】若虚数满足，求的值【解答】解：由已知，因为虚数，故，所以【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】在复数范
10、围内解关于的方程【解答】解：若为实数，则原方程可化为，解得，若为虚数，设（,且），原方程化为,所以，因为故，所以，原方程的解为，【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】解关于的方程【解答】解：原方程可化为，设（,），则原方程可化为，解得，所以，原方程的解【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】方程中，为锐角，若实数是方程的一个解，求与的值【解答】解：由题意，所以，解得，所以，【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知复数满足，求一个以为根的实系数一元二次方程【解答】解：由，所以，所以，故另一根为，设所作方程为，则，所以所求
11、方程为【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】关于的实系数方程至少有一个模为的根，求实数的值【解答】解：当根为实数时，或由当时，无实数解；当时，解得当根为虚数时，即，解得或（舍去）综上，或或【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】若，关于的一元二次方程有实根，求复数的模的最小值【解答】解：，当时，此等式不成立，故所以，所以，当，时，取最小值【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知顶点为直角坐标分别为，若虚数（）是实系数一元二次方程的根，且是钝角，求的取值范围【解答】解：由已知，虚数也是实系数一元二次方程的
12、根，所以，解得，则、的坐标为，所以，因是钝角，故，又当，共线时，所以的取值范围是【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】已知关于的方程（）有两个根、，求的最小值【解答】解： 当即时，、是实数，当时，恒为；当时，即时，的最小值为 当，即时，、是一对共轭虚数，故综上，的最小值为，取得最小值时的取值范围是【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，数学探究【题目】已知复数，满足条件，是否存在非零实数，使得和同时成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：据题意，得，即，故，是方程的两个根（1）当即且时，记，则，解得（2）当，即时，、为一对共轭虚数，则，由，得，所以综上，当或时，和同时成立
