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1、命题逻辑：推演 前言：什么是推演？什么是自然演绎？ 推演：例子 如果小王是三好学生，那么小王学习好并 且品德好；小王是三好学生，所以，小王 学习好。 分析为：如果小王是三好学生，那么小王 学习好并且品德好；小王是三好学生，所 以，小王学习好并且品德好。 小王学习好并且品德好，所以小王品德好 。 由相对复杂的推论分析为简单可以推演规 则为依据的简单推论并且一步一步得出结 论的方法就是“自然演绎”。自然演绎的过 程称之为推演。 八条整推规则 肯定前件 根据蕴含命题的特征真值表 PQ 蕴含命题真并且前件真后件真， P 前件真后件后件真假不确定 Q 否定后件 PQ Q P 否定析取支 P Q P Q
2、P 和 Q Q P 附加 P 和 Q P Q P Q 根据析取命题的特征真值表，析取命题真 并且其中一个析取支真另一个析取支可真 可假；析取命题真并且其中一个析取支假 另一个析取支真；析取命题一个析取支真 ，析取命题真。 化简 P Q 和 P Q P Q 合取 P Q P Q 根据合取命题的特征真值表，合取命题真 ，其两个合取支都真；两个合取支都真， 合取命题真。 假言三段论 PQ QR PR 二难推论 PQ RS PR QS 应用整推规则需要注意的是：八条规则必 须应用于整个命题，不能应用于命题的某 个部分；换句话说就是要应用于主联结词 。 A BC 和 A BC A C BC （AB） 意
3、大利的都灵大教堂，因为珍藏了一件绝世 圣物而名闻遐迩。相传该圣物是耶稣遇难后 包裹尸体的布幅。这块裹尸布，用细亚麻织 成，长4.3米，宽3米，供放在一只精致的盒 子里，终年摆在教堂的圣坛上。 这块裹尸布是1357年首次展示的，在以后的 六百多年中，它的真伪问题一直引起信徒们 的激烈争论。 一些信徒把它奉为至高无上的圣物而顶礼 膜拜，不许有一丝一毫的亵渎和不敬；另 一些信徒却认为它不过是好事者伪造出来 的赝品。 某年，一神学院的A，B，C，D，E五个学 生到都灵旅行，他们在看了这块裹尸布以 后，也就它的真伪问题发表了自己的看法 ： A说：我认为这圣物是真的。因为如果它是假的话，那 么，它就不可能
4、在六百多年一直被我们的教友所敬奉 ；事实上，我们都是虞城地敬奉它的，可见它是真的 。 B说：我也相信这件圣物是真的。大家想想耶稣受难时 的情景吧！耶稣是钉死在十字架上的，那时手上，大 腿上一定留了大量的血。所以我们可以这样分析：如 果它是真的，那么，在它上面必定有大量的血迹，（ 因为它是用来包裹尸体的），现在我们亲眼看到它上 面由斑斑得血迹，可见它是真的。 C说：我同意B的分析。此外，我还要补充 一点理由：只有这块布上有血迹，才有可 能是圣物；像刚才B所说的，我们亲眼看见 它上面有许多血迹，可见它是圣物无疑了 。 D说：我不认为它是圣物，这道理是最简单不 过的。许多研究纺织史的专家认为：在欧洲
5、 ，粗糙的亚麻织品在公元前虽然就出现了， 而亚麻细布却是直到公元2世纪才出现。这就 是说，如果这块布真的是耶稣的裹尸布，那 么，耶稣应该是公元2世纪以后才受难的，可 见，圣经说它是公元1世纪受难的呀！可 见，它根本不可能是什么圣物。 E说：纺织史家意见不完全可靠，最可能的 是碳14测定法，如果这亚麻布是圣物，那 么，它是公元1世纪织品，如果碳14测定法 测定其为公元1世纪织品，那么它就是圣物 。 问题：请将上述五个推论符号化，并确认 哪一个是八个整推规则中的一个。 八条整推规则的应用 某天深夜伦敦一大公寓发生三起刑事案件：住四 楼的一名下院议员被枪杀；住二楼的一名收藏家 五幅16世纪油画被盗；
6、住底楼的一名芭蕾舞演员 被强奸。 接到报警后，警方大批警员赶赴现场侦查，断定 三案件分别为三罪犯单独作案，三个月深入侦查 后，抓获三个罪犯A、B、C。审讯中三人口供如下 ： A：1.C是杀人犯，出于私仇杀了议员； 2.我既被捕，当然要编造口供，所以我不是十分 老实； 3.B是强奸犯。 B：1.A是著名大盗，盗画人就是他； 2.A从来不说真话； 3.C是强奸犯 C：1.盗窃案不是B做的； 2.A是杀人犯； 3.我在那天晚上在那个公寓做过案。 以上一个人供认属实，全说真话；一个人极不老 实，供认全是假话，另一个供认有真有假。 问：三人各犯什么罪？ 分析：先找出说话有真有假的人，最有可能的是A ，他
7、的第二句话，可以看出这一点，为什么？ 确定A的话有真有假我们根据这个案例已知的一切 ，可以作出以下推论（这个推论也可以看出A的话 有真有假）： 如果A是供认属实的罪犯，那么他不会说自己编造 口供；如果A是最不老实的罪犯，那么他就不会承 认自己并非十分老实；A说自己编口供，并且承认 自己并不十分老实；所以，A不是供认属实的罪犯 ，并且不是最不老实的罪犯。 先将以上推论符号化： 令：S：A供认属实；B：A说自己编口供； U：A最不老实；C：A承认自己并不十分老 实 推论符号化为： S B U C B C S U 论证： （1） S B 前提 （2） U C 前提 （3） B C 前提 （4）B （
8、3）化简 （5） S （1）（3）否后 （6）C （3）化简 （7） U （2）（6）否后 （8） S U （5）（7）合取 这其实是一个省略的证明，我们等学了置 换规则再补充完整，不过这个证明已经告 诉我们针对A的推论是有效的，所以，他不 是供认属实的罪犯，也不是最不老实的， 也就是他说话有真有假，于是，其他两个 人有一个说话全真一个说话全假。 由于B的供述中有一句“A从不说真话”显然 是假的，所以B的话都是假的，所以C的 话都是真的。于是我们先从C的话得出A杀 人，盗窃犯既然不是B那就能是C，所以A 另外一句真话是B是强奸犯。这样我们就破 案了。 使用规则证明的定义：一个证明是一个命题序列
9、：其中， 每一个命题是前提，或者是根据推演规则从序列中在前的 命题推得；序列的最后一个命题是结论。 证明的符号化的模式： P1 前提 Pn S1 根据推演规则由前提推得的过渡命题 Sn C 结论 十条置换规则 证明： （1） S B 前提 （2） U C 前提 （3） B C 前提 （4）B （3）化简 （5）？ ？ （6） S （1）（3）否后 （7）C （3）化简 （8） U （2）（6）否后 （9） S U （5）（7）合取 上次课提到，如上的证明实际上并不是一 个完整的证明，大家可能觉得B就是B的 否定并无疑义，但是严格的逻辑学却不能 这么认为，在逻辑学看来B和B的否定是 不一样的，不
10、过如果我们能证明它们是重 言等值的话，那么我们就能将它们互相置 换，而在置换的时候， B和B的否定的重 言等值将成为一个规则，这就是所谓的置 换规则。也就是说命题B 和B无论以整个 命题出现，还是以一个命题的一个部分出 现，都可以互相替换。 推而广之，对于任何命题P，无论它是以整 个命题出现，还是作为一个命题的一部分 出现，都可用与它重言等值的命题Q来替换 。 可以如此应用置换规则，其实道理简单说 就是与的逻辑意义的不同，重言等值 命题的两边的命题的真值一致，不论作 为整个命题还是命题一部分，相互替换都 不会改变整个命题的真值。 整推规则应用的时候一般都是规则中作为 前提的命题已知，然后才能得
11、到右边的 结论。 就像书里说的，重言等值式有无穷多个， 但是，在我们的系统中，我们只需要如下 十条： 交换 由重言式： PQ QP PQ QP 得到置换规则： PQ和QP可以相互置换。 PQ和QP可以相互置换。 双重否定 由重言式P P，得到置换规则： P和P可以相互置换。 这样我们可以把一开始的证明补充完整： 证明： （1） S B 前提 （2） U C 前提 （3） B C 前提 （4）B （3）化简 （5） B （4）双否 （6） S （1）（5）否后 （7）C （3）化简 （8） C （7）双否 （9） U （2）（8）否后 （10） S U （6）（9）合取 德摩根律 由重言式： (
12、PQ) PQ (PQ) PQ 得到规则： (PQ)和PQ可以互相置换。 (PQ)和PQ可以互相置换。 假言易位 由重言式： (PQ)(QP) 得到规则： (PQ)和(QP)可以相互置换。 这个在练习中出现过。 蕴含 由重言式： (PQ)(PQ) 得到规则： (PQ)和(PQ)可以相互置换。 这个应该大家也不陌生，第二章第一节有 提到。 重言 由重言式： P PP P PP 得到规则： P和PP可以相互置换。 P和PP可以相互置换。 结合 由重言式： P(QR)(PQ) R P(QR)(PQ) R 得到规则： P(QR)与(PQ) R可以相互置换。 P(QR)与(PQ) R可以相互置换。 分配 由重言式： P(QR)(PQ)( PR) P(QR)(PQ)( PR) 得到规则： P(QR)和(PQ)( PR)可以相互置换。 P(QR)和(PQ)( PR)可以相互置换。 移出 由重言式： (PQR)(P (QR) 得到规则： (PQR)和(P (QR)可以相互置换。 等值 由重言式： (PQ)(PQ)(QP) 得到规则： (PQ)和(PQ)(QP)可以相互置换。 绿野仙踪的主角桃乐斯这天穿着魔法鞋子 飞到了一个健忘的森林，在这个森林里面 ，人类总会忘记自己所处当天的日期，而
