第六章代数系统

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1、第六章第六章 代数系统代数系统 1. 填空题：f 是 X 上的 n 元运算的定义是（ ） 。 2. 判断正误，并说明原因：自然数集合 N 上的减法运算“” 是个封闭的运算。 3. 判断正误，并说明原因：实数集合 R 上的除法运算“” 是个封闭的运算。 4.填空题：代数系统的定义是：（ ） 。 5. 填空题：*是 X 上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（ ） 。 6.填空题：*是 X 上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（ ） 。 7. 简答题：*是 X 上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素 是幺元？ 8. 简答题：*是 X 上的二元运算，*具有零元

2、，如何在它的运算表上判定哪个元素 是零元？ 9. 简答题：*是 X 上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素 x 的逆元？ 10 令 N4=0,1,2,3，N4上定义运算+4： 任何 x,yN4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。 例如 2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)1 请列出的运算表。然后判断+4 运算是否有交换性、有幺元、有零元、 各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么。 11. 判断正误，并说明原因：对于整集合 I 上的减法运算“”来说， 0 是幺元。 12. 填空题：E 是全集，E=a,b，E 的幂集 P(E)上的交运算

3、 的幺元是（ ） 。零 元是（ ） 。有逆元的元素是（ ） ，它们的逆元分别是（ ） 。 13. 填空题：E 是全集，E=a,b，E 的幂集 P(E)上的并运算 的幺元是（ ） 。零 元是（ ） 。有逆元的元素是（ ） ，它们的逆元分别是（ ） 。 14. 填空题：E 是全集，E=a,b，E 的幂集 P(E)上的对称差运算 的幺元是（ ） 。 零元是（ ） 。有逆元的元素是（ ） 。它们的逆元分别是（ ） 。 15. 填空题：对于自然数集合 N 上的加法运算“” ，13（ ） 。 16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（ ） 。 17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（ ） ，其零元

4、是（ ） 。 18. 设是 X 上的二元运算，如果有左幺元 eLX，也有右幺元 eRX，则 eL= eR =e ，且幺元 e 是唯一的。 19. 设是 X 上的二元运算，如果有左零元 LX，也有右零元 RX，则 L=R =,且零元 是唯一的。 20. 设是 X 上有幺元 e 且可结合的二元运算，如果 xX，x 的左、右逆元都 存在，则 x 的左、右逆元必相等。且 x 的逆元是唯一的。 21. 设是 X 上且可结合的二元运算，如 aX，且 a-1X，则 a 是可消去的，即 任取 x,yX，设有 ax=ay 则 x=y。 22. 对于实数集合 R，给出运算如下：是加法、是减法、 是乘法、max 是

5、两 个数中取最大的、min 是两个数中取最小的、|x-y|是 x 与 y 差的绝对值。判断这 些运算是否满足表中所列的性质。如果满足就写“Y”,否则写“N” 。 maxmin|x-y| 可结合性 可交换性 存在幺元 存在零元 23. 设 R 是实数集合，在 R 上定义二元运算* 如下：任取 x,yR， x*y=xy2x2y6 1验证运算* 是否满足交换律和结合律。 2求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。 3对任何实数 x，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。 24.设是 X 上有幺元 e 且可结合的二元运算，求证如果xX，都存在左逆元， 则 x 的左逆元也是它的右

6、逆元。 25. .给定下面 4 个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用“Y”表示 “有” ，用“N”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有 可逆元素，要指出这些元素是什么。 a b c a b c a b c b c a c a b a) a b c a b c a b c b a c c c c b) a b c a b c a b c a b c a b c c) a b c a b c a b c b b c c c b d) 交换性幂等元幂等性有幺元有零元有可逆元素 a) b) c) d) 26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同

7、构？ 27. 什么叫做同态核？ 28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。 29. 给出集合 A0,1,2,3和 A 上的二元运算“*” 。集合 BS,R,A,L和 B 上的 二元运算“ ” 。 它们的运算表如下面所示。验证与同构。 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 * * S R A L S S R A L R R A L S A A L S R L L S R A 30 令 S=|X 是集合，*是 X 上的二元运算，即 S 是所有含有一个二元运算 的代数系统构成的集合。 是 S 中的代数系统间的同构关系。求证，

8、是 S 中的等 价关系。 31. 令 A=0,1,2,3,4,B=1,2,4,8,16,，+表示加法，*表示乘法， 问和 是否同构？为什么？ 32 已知代数系统和，其中 S=a,b,c P=1,2,3 二元运算表如下所 示： a b c a b c a b c b b c c b c 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 * * 试证明它们同构。 33 给定两个代数系统，：R+是正实数，是 R+上的乘法运算；： R 是实数集合，是 R 上的加法运算。它们是否同构？对你的回答给予证明或者 举反例说明之。 34. 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射,

9、请证明如果运算可结合，则运算 也可结合。 35. 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果运算可交换，则运算 也可交换。 36. 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果运算有幺元 e ，则运算 也有幺元 e ，且 f(e )= e 。 37. 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果运算有零元 ，则运算 也有零元 ，且 f()= 。 38 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果中每个 xX 可逆，即 x-1X, 则中每个 yY 也可逆， 即 y-1Y。 且如果 y

10、=f(x) ，则 y-1= (f(x)-1 =f(x-1)。(x 映像的逆元=x 逆元的映像) 39 集合 A 上两个同余关系 R、S, 证明 RS 也是同余关系. 40. 考察代数系统,定义 I 上如下关系 R 是同余关系？ a).R 当且仅当(x0y0)(x0y0) b). R 当且仅当|x-y|10 c). R 当且仅当(x=y=0)(x0y0) d). R 当且仅当 xy 41. 填空：是 A 上二元运算，代数是半群，当且仅当（ ） 。 42. 填空：是 A 上二元运算，代数是独异点，当且仅当（ ） 。 43 列举出 5 个你所熟悉的是半群的例子。 44. 列举出 5 个你所熟悉的是独

11、异点的例子。 45 列举出 1 个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。 46. 给定代数系统 ，是实数 R 上二元运算，定义为：a,bR, a b=a+b+ab 求证 是独异点。 47. 是个半群，a,bA，若 ab 则 abba，试证： a) aA，有 aa=a b) a,bA， aba=a c) a,b,cA， abc=ac 48. 设是个半群，且左右消去律都成立，证明 S 是交换半群的充要条件是 对任何 a,bS，有 (a*b)2=a2*b2 49. 设是半群，如果 S 是有限集合，则必存在 aS,使得 aa=a。 50. 设 A 是有理数集合，在笛卡尔积 AA 上，定义二元运算如下：

12、任取,AA = 其中：是乘法。+是加 法。 求证是独异点。 51.设是交换独异点，A 是 M 中所有幂等元构成的集合，证明是 的子独异点。 52.令 I：是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合。是加法运算，是乘法 运算。给定代数系统, ,。请问哪些代数系统不是群？只要说明一条理由即可。又问哪些 代数系统是群？并说明理由。 53. X=R0,1, X 上定义六个函数，如下所示：xX, f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-x f4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1 令 F=f1,f2, f3, f4, f5, f6， 是 F 上

13、的复合运算，试证明是群。 54. 令 R 是实数，F=f| f(x)=ax+b，a,b,xR,ao ， 是 F 上的函数左复合运算， 试证明是群。 55. 设是半群，e 是左幺元，且对每个 xA， xA，使得 xx=e, a) 证明, a,b,cA，若 ab=ac， 则 b=c。 b) 证明是群。 56. .设是群,且|A|=2n, n 是正整数，证明 A 中至少存在一个元素 a，使得 a*a=e。 57. 填空：令是群,其中 G=a,b,c，设 a 是幺元，则 b2=( )，b*c=( )，b 和 c 的阶分别是( )和( ) 。 58. A 是非空的有限集合，且|A|n 。 令 Ff| f

14、 是 AA 的双射函数 1求 |F| 等于多少？ 2令 * 是函数的左复合运算。问是群吗？如果是，给予证明。如果 不是，要说明理由。 59. 设是 4 阶群，其中 Ga,b,c,d，已知 a 是幺元，b 与 c 互为逆元。首 先计算 c*d (要有计算过程)，再分别求元素 b 与 d 的阶。 60. 设是 4 阶群，其中 Ga,b,c,d，已知 a 是幺元，且所有元素的逆元都 是它自身。求满足方程式 b*x=c*d 中的 x 。 61. 判断下列各命题的真值，并说明理由。 1是个 n 阶群，则对于任何 a,bG,有 (a*b)-n=(b*a)n。 2设 f 是群到群的满同态映射，则对任何 a,

15、bG，有 f(b*a-1)=(f(a*b- 1)-1。 62. 设是个群 ,证明 G 中除幺元外,无其它幂等元。 63. 设是个群，则对任何 a,bG, 证明存在唯一元素 xG, 使得 ax=b 。 64. 是个群，对任何 a,bG，证明 (ab)-1=b-1a-1 。 65. 是个有限群，证明 G 中每个元素在运算表中的每一行必出现且仅出 现一次。 66. 填空：是个 n 阶群，则运算表有（ ）特征。 67. 什么叫做群的阶？ 68. 什么叫做群中运算的阶？ 69 指出整数集合加法群中，各个元素的阶是什么？为什么？ 70. 是群, aG, 如果 a 的阶为 n ,证明 ak=e， 当且仅当 k=mn (mI)(即 k 是 n 的整数倍) 71. 证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。 72.设是有限群，任何 aG，证明 a 的阶都是有限的。 73. 设是群，而 aG, f:GG 是映射, 对xG, f(x)=axa-1 求证 f 是 G 到 G 的自同构。 74. 设是个群,而 aG,如果 f 是从 G 到 G 的映射,使得对任何 xG, 都有 f(x)=a-1*x*a 试证明 f 是从 G 到 G 的自同构.