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1、第八章 多目标规划 概述 v 什么是多目标规划问题 在前面所述的最优化问题，无论是线性规划、整数规划还是非线性规划，其目 标函数都只有一个。但在实际问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个 标准，常常要考虑多个目标。例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率， 同时还要考虑产品质量，又要考虑成本以降低生产费用，可能还希望生产过程 中的环保问题，即废渣、废水、废气造成的污染小。在设计导弹的过程中，既 要射程远，又要燃料省，还要重量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既希 望回报高的同时又希望降低投资风险，如此等等。这就向我们提出了一个多指 标最优化问题。我们把在这样的背景下建立起来的最优化称之为多
2、目标规划问 题。 v 多目标规划问题的发展 多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一个 重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一 种数学方法。其概念和数学模型是由A.Charnes和W.W.Cooper在1961年提出的 ，经过Ijiri,Sang.M.Lee等人的改进，并逐步发展和成熟，它在经济管理与规划 、人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化等重要问题上都有广泛的应用 。 多目标规划问题的典型实例 v 例1 木梁设计问题 多目标规划问题的典型实例 v 例2 工厂采购问题 多目标规划问题的典型实例 多目标规划问题的典
3、型实例 v 例3 生产计划问题 多目标规划问题的典型实例 多目标规划问题的典型实例 多目标规划问题的数学模型 多目标规划问题的数学模型 v 目标规范化 多目标规划的解集 v 直观理解 多目标规划的解集 v 绝对最优解 多目标规划的解集 v 有效解与弱有效解 多目标规划的解集 v 解集之间的关系 多目标规划的象集 多目标规划的象集 v 有效点和弱有效点。 多目标规划的象集 处理多目标规划的方法 v 约束法 v 评价函数法 v 功效系数法 约束法 v 原理 评价函数法 理想点法 理想点法 基于加权的方法 平方和加权法 线性加权和法 线性加权和法 乘除法 最大最小法 评价函数法的有关结论 功效系数法
4、 线性功效系数法 线性功效系数法 线性功效系数法 线性功效系数法 指数功效系数法 指数功效系数法 指数功效系数法 指数功效系数法 多目标规划的MATLAB求解 v 由于多目标规划中的求解涉及到的方法非常多，故在MATLAB中可以利用 不同的函数进行求解，例如在评价函数法中我们所得最后的评价函数为一 线性函数，且约束条件也为线性函数，则我们可以利用MATLAB优化工具 箱中提供的linprog函数进行求解，如果我们得到的评价函数为非线性函数 ，则可以利用MATLAB优化工具箱中提供的fmincon函数进行求解，如果 我们采用最大最小法进行求解，则可以利用MATLAB优化工具箱中提供的 fmini
5、max函数进行求解。下面我们就结合前面各小节中所分析的几种方法 ，讲解一下典型多目标规划问题的MATLAB求解方法。 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 线性目标规划 v 线性目标规划也是解决多目标数学规划的一种方法，它是在线性规划基础 上发展起来的这种方法的基本思想是：对每一个目标函数，预先给定一 个期
6、望值，在现有的约束条件下，这组期望值也许能够达到，也许达不到 。决策者的任务是求出尽可能接近这组预定期望值的解。 v 为了讨论目标规划的概念，必需对线性规划比较熟悉，故先复习一下线性 规划。下面看一个例子 线性目标规划 线性目标规划 线性目标规划 v 线性规划的不足之处 上述使用的线性规划方法虽然是最优化理论与方法中发展得最完善、应用面最 广的方法，但存在着一些不足，例如线性规划难以妥善处理多目标问题。线性 规划在处理多目标问题时通常采用给各个目标赋予不同权重的办法，但如何将 决策者定性的判断转化为定量的权重则是一个十分困难的问题，即便是可以求 出各个目标的权重，但当各个目标的量纲不同时(例如
7、不同的目标会分别用金额 、人数、时间等来表示)，也难以用赋予权重的办法将它们归并到一个目标函数 中。其次是线性规划在求解的过程中缺乏必要的灵活性。当线性规划中的某个 约束无法满足时，线性规划无解，例如在例子中，如果将产品甲的合同约束改 为40吨，产品乙的合同约束改为15吨，则问题无解。 然而，线性目标规划的约束条件却有较大的灵活性。这是因为可以在线性目标 规划的每个约束条件中引入一对正负偏差变量，通过偏差变量可以表达条件是 否可以被满足。是过紧还是过松，差多少或多剩余多少。 线性目标规划 v 线性目标规划的优势 首先，在每个约束条件中引入正、负偏差变量，使硬约束变成软约束，大大增 加了求得可行
8、解的机会 再者，将距各个目标值的偏差总和最小作为目标函数，便于处理多目标问题。 在上述目标函数设定的基础上，线性目标规划用划分优先级的方法来处理多个 目标的相对重要性、能更好地适应决策者的判断 线性目标规划通过变量定界的方法来解决多解问题，在线性目标规划中设计变 量的数目往往大大超过目标的数目，也常大于约束条件的数目，这样在求解时 就容易产生多解问题。线性目标规划可要求决策者对偏差变量定界，即定出允 许其变动的范围，从而可以通过灵敏度分析来解决多解问题。多目标决策就是 要在这些目标中建立优先次序，分清主次轻重，使得只有在较高级目标被满足 或不能再改进之后，才考虑较低级目标。当然，如果决策者能够
9、决定这些目标 的优先次序，而且所有的目标和约束都是线性的，这样的多目标决策就能用目 标规划解决 v 为了说明线性目标规划的上述特点，同时让读者对目标规划有一个直观的 认识，我们可将上例中的问题修改为另一种形式 线性目标规划 线性目标规划 线性目标规划 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划
10、的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的数学模型 线性目标规划的求解方法 v 线性目标规划的序列法 v 线性目标规划的多阶段法 v 线性目标规划的单纯形法 序列法 v 线性目标规划序列（序子）算法的基本思想是依达成函数中各目标的优先 级别，顺序将目标规划模型分解为一系列的单一的线性规划模型，用传统 的单纯形方法逐一完成其求解过程。在求解过程中进基变量、出基变量及 枢点元素的选择原则与线性规划的单纯形法相同，不同的是要以不影响较 高级目标的达成值为前提选择较低级目标的达成值，如此反复迭代，直至 进行到最低级目标的达成函数达最优为止。 序列
11、法 v 具体计算步骤 序列法 序列法 序列法 序列法 序列法 序列法 多阶段法 多阶段法 多阶段法 单纯形法 单纯形法 单纯形法 单纯形法 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 v 输入参数和输出参数 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 v 输出参数中包含了attainfactor、exitflag、lambda和output 线性目标规划的MATLAB求解 v 控制参数设置 用户可以同optimset来设置fgo
12、alattain函数在求解多目标规划问题时使用的优化 控制参数，其主要参数的设置方法如表所示 线性目标规划的MATLAB求解 v 命令详解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 线性目标规划的MATLAB求解 重点回顾 v (1) 多目标问题的建模方法，这是本章的重点； v (2) 多目标规划问题中解集和象集的概念，这是在单目标规划问题中所没有 的； v (3) 处理多目标规划问题的约束法、评价函数法和功效系数法的原理及其 MATLAB实现； v (4) 线性目标规划的建模方法； v (5) 多目标规划的MATLAB的求解函数fgoalattain的使用方法。
