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1、过已知点与缓和曲线正交直线的求法及应用 北京市政集团一公司王景海 1 引言 道路中心线的线形一般为直线、圆曲线、缓和曲线几种形式的组合。当问及中心线外 一点相当于道路桩号是多少，距路中距离为多少，若此时道路中心线为直线或圆曲线，上 述问题不难解决。但若此时道路中心线为缓和曲线时，问题就会出现了：根据已知条件得 到的方程是关于缓和曲线长度的高次方程，一般施工单位的测量人员囿于数学知识的限 制，对此往往束手无策。笔者在实际测量工作中也多次遇到上述问题，并通过迭代的方法 解决了上述问题。而且，在实际工作过程中灵活的应用这种方法，会提高工作效率，给工 作带来方便。 2 问题的解决算法 上述问题可以归纳
2、于如下：求通过已知点的直线与缓和曲线( 道路中心线) 正交问 题，更有普遍性可以归纳为：求通过已知点的直线与缓和曲线段道路边线正交问题，见图 1 所示。( 这里我们的讨论均在缓和 曲线自身独立坐标系中进行，统一 坐标系中坐标与其可以通过旋转、 平移转换得到) 点P 。( 髫。，y ) 为道路中心 线外一已知点，道路半幅宽为D ， 过点P 。( 算。，y ，) 与道路内边线 正交的直线与内边线的交点为P ： ( 菇：，Y ：) ，与道路中心线的交点为 P ( 菇，Y ) ，则点P ：( 菇：，Y ：) 坐标可表 示为： ， j 一，0 ? ： 、日( 1 ，H ) 图l 戈2 = 石一D s i
3、 n f l( 1 ) Y 2 = Y + D c o s p ( 2 ) ( 1 ) 、( 2 ) 式中的卢为缓和曲线角。其实当D = 0 时，P ：即为与中心线交点P ，当D 1 。时， 式( 算。一石：) + t g p ( Y 。一Y ：) 0 ，利用( 9 ) 式求出1 的较初值小，因此无论1 取何值，利 用( 9 ) 式求出的1 都将逼近于1 。将新求出的1 代入( 9 ) 式，如此反复迭代，当前后 两次求出的1 值之差的绝对值小于任给任意小正数时，迭代即告结束，此时的1 值即可 认为是真值1 。而且，从理论上也可以证明采用( 9 ) 式这种迭代形式是收敛的，有兴趣 的读者可参见参
4、考文献 2 。 ， 潞 ， 7 一口 9 l 图2 ( 1 1 ) y 谢 么W ， 0l V ? 1 I = 1 + ( z I x 2 ) + t g # ( Y I Y 2 ) 。l 一】2 一2 = 1 一1 2 A 2 1 ) 求出1 ，其他问题都将迎刃而解。 3 编程迭代实例 根据上述算法，不难编出迭代程序，下面举例验证。万泉河路改扩建工程苏州街跨线 桥中心线有一部分位于缓和曲线上，缓和曲线长度1 。= 5 4 m ，圆曲线半径R = 1 5 0 ，缓和曲 线参数A = 9 0 。 对1 = 2 0 m ，道路外侧2 0 m 处点P 。进行正交情况迭代验算。 ，2 1 ) 内边线D
5、 = 2 0 ，中心线D = 0 ，外边线D = 一1 0 ，取e = 0 0 0 5 ，不同初值1 迭代情 况如下： 距离 初值 迭代结果迭代次数 内边线中心线外边线 O1 9 9 9 9 63 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 9 9 9 74 1 51 9 9 9 9 63 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 9 9 9 74 2 01 9 9 9 9 63 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 9 9 9 7l 2 51 9 9 9 9 73 9 9 9 9 71 9 ，9 9 9 79 9 9 9 74 4 01 9 9 9 9 8 3 9 9 9 9 71
6、9 9 9 9 79 9 9 9 74 5 4 1 9 9 9 9 63 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 9 9 9 75 2 ) 内边线D = 2 0 ，中心线D = 0 ，外边线D = 一1 0 ，取e = 0 0 1 ，不同初值I 迭代情 况如下： 距离 初值迭代结果迭代次数 内边线中心线外边线 O1 9 9 9 9 6 3 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 9 9 9 74 1 51 9 9 9 9 63 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 9 9 9 74 2 01 9 9 9 9 63 9 9 9 9 71 9 9 9 9 7 9 9 9 9 7l 2
7、 51 9 9 9 9 73 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 9 9 9 74 4 01 9 9 9 9 83 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 9 9 9 74 5 42 0 O 0 0 03 9 9 9 9 71 9 9 9 9 79 ，9 9 9 74 从上面的算例我们可以看出：正交迭代次数与1 的初值和e 有关，但对于不同初值和 e 迭代次数相差不大，收敛的速度都比较快。 4 实际应用 ( 1 ) 应用于缓和曲线段道路红线的划定 某些时候，由于地物影响，缓和曲线段道路红线不易实地放出，或由于准备不足，准 备好的数据实地放不出，而实地能放出的位置坐标又没算出。但是，
8、由于全站仪的普遍使 用，坐标采集是十分方便的，我们可以根据所采集的坐标，计算出其与红线的关系，确定 出红线的位置。在万泉河道路改扩建工程中，十九中学大门右侧的十余棵古树，其与在施 工程关系如何? 通过采集古树位置坐标，求出其与道路中线或红线的关系，可以轻易地判 断出其位置。 ( 2 ) 应用于缓和曲线段道路线位精度评定 常规坐标检测缓和曲线段道路线位精度时，根据实测坐标与设计坐标比较所得到得 戈，y 无法表示出该点位在线位切向、法向上的误差，而若求出该点到被检测线位的距 离和对应的桩号，则该桩号和被检测点桩号之差就可认为是切向误差，距离就可认为是法 ，了 向误差，这样表示误差更为直观。 5 结束语 本文所介绍的方法在工程测量中的更多应用，还有待于广大测量工作者结合工程实际 去不断地实践，灵活地加以应用，以便提高工作效率，使测量更好地服务于施工。 1 1 4
