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1、 前 言 线性代数以线性方程组的求解以及其他线性 问题为基础而发展起来的。 线性代数的特点是： 1.它需要我们有一种抽象思维的能力。把实际 生活中的问题抽象成代数或者几何问题。 我们必须用抽象的和逻辑的思维来思考问题。 2.它需要我们有一种逻辑的推导能力。从而， 数与形的对应： 在实数轴上，点与一个实数一一对应。 直角坐标系中，点与两个有序实 数一一对应。 在平面 ？那么，多维坐标中 的点也可以用这种 形式来表示吗？ 三维空间中的一个点可用三个有序数（x, y, z） 来表示，依次类推，n 维空间的一个点可用n个 有序数 (x1, x2, , xn)来表达。从而，数和形建立 了密切的联系。 几
2、何的对象，如直线L，可以把它看作一个 “动点”（x , y）, 沿固定的方向（倾角）运动的 轨迹。我们可以用代数的方法来表示： o y x L 即 y - y0 = k (x - x0)， 或 y = y0+ k (x - x0)， 这就是直线L在直角坐标系下的点斜式直线方程。 平面直线的一般式方程：(线性方程） A x + B y + C = 0 第1章 行列式 (Determinant) 例1.1 线性方程组的求解问题： 把系数按位置排列成矩形的 我们忽略方程组中的未知数, 数阵称为矩阵。 上面的方程组可简化为 ： + 本课程的特点是： 高度的抽象和严密的逻辑。 容易和困难是相对的, 掌握
3、则易, 不掌握则难。 1.1 行列式的定义和性质 1.1.1 二阶行列式的定义 对于三元一次方程组： (+)(-) 其系数矩阵的行列式定义为： 其中 则 其中 （按第一行展开） 这时， 如何来研究下列一般的 n 元线性方程组的解？ 这就需要找到一般的方法。从二元线性方 推广 - 抽象思维。 程组的求解过程中做形式上和方法上的分析和 1.1.2 n 阶行列式的定义 由递归的方法,可以定义任意阶的行列式： 设 则 矩阵和行列式的区别： 矩阵是一系列数的阵，而行列式却是一个数值， 即矩阵是一批数阵，而行列式却是一个数。 其中Aij为D中aij的代数余子式。 性质 1 行列式D 的值等于它的任一行（或
4、任一列） 的元素分别与其对应的代数余子式的乘积之和，即 1.1.3 行列式的性质 其中，第一式称为行列式D按第 i 行展开的公式， 第二式称为行列式D按第 j列展开的公式。 * 性质1的证明也可用数学归纳法（证明从略）。 注意: 这些公式在行列式的理论与计算方面非常有用。 我们甚至于可以把它看成 n 阶行列式的定义! 例1.2 计算行列式 D = 解 （按第1行展开） （按第2行展开） （按第1列展开） 定义: 把行列式D的行依次换成列后所得的 证明：n=2时, 设 行列式, 称为D的转置行列式， 并记为 DT，即 行列式与它的转置行列式相等，即 D = DT 性质 2 由归纳法，令n=k 1
5、时成立，现证n=k 时也成立。 则 其中 设 数 k 乘行列式D等于 k 乘到行列式D中 任意某一行 （或列）中的元素。 证：设将 k 乘到行列式D中第i 行。 性质 3 推论: 行列式中任一行（或列）的元素均为 0 时， 行列式的值为零。 证： 设行列式的第 i 行的元素均为 0 ，则 = 0 设 交换第i 和i+1行。 证： 第一步： 则 i行 i+1行 性质4 行列式若交换任意两行（或列）的元素, 其值要改变正负号。 事实上，设 其中 为由第 i 行元素所组成的行矩阵。 第二步 ：用归纳法假设，令交换相隔k 1行时 命题成立， 现证交换相隔k行的两行时命题也成立。 交换 和 后，并设为 C ，则 性质 5 行列式中若任意有两行（或列）的元 素对应相等，则其值为零。 证：交换相等元素的两行（或两列）得 性质 6 若行列式 D 中的某一行（或列）的每个 元素都是两个数之和，如 证： 按第 i 行展开行列式, k 证: 设 性质 7 把行列式中的某一行（或列）的倍数 加到另一行（或列）上去，其值不变！ 与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积 行列式 D 的任一行（或列）的元素分别 v之和等于零，即 注意到， 证：设 第k行 Akj 第i行 aij 性质 8 而D1中第i行与第k行的元素相同，D1=0 。
