几何要素及基本体的作图综述

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1、第3章 几何要素及基本体的作图图 任何形状的物体都可以看作由柱、锥、球等基 本体按一定方式集合操作后形成得到的，所以基本 体的图形是构成物体图形的基础。人眼观察到的是 基本体的表面，而基本体表面又由点、线、面等几 何要素构成。因此，画物体的图形，可以从画构成 物体的基本体的图形、进而从画构成基本体表面的 几何要素的图形入手来完成。 3.1 正投影法基础础 3.1.1 中心投影法 投射中心 投射线 空间平面ABC 在P面上的投影 空间平 面ABC 投影面 3.1.2 平行投影法 正投影法 斜投影法 正投影法的投影具有以下特性 ： 从属性 若空间点在直线或平面 上，则点的投影在直线或平面的同面 投

2、影上。 真形性 若空间直线或平面平行 于投影面，则其在这个投影面上的投 影反映该直线或平面的真实形状。 平行性 若空间两线段平行，则 它们的同面投影也平行。 积积聚性 若空间直线或空间面垂 直于投影面，则在该投影面上的投影 积聚成点或线。 类类似性 若空间平面倾斜于投影 面，则在该投影面上的投影与空间 平面类似 定比性 空间直线上两线段之比 ，等于两线段同面投影之比。 3.2 三视图视图 下图中两个不同物体在投影面P上的投影图完全一样，这 说明正投影法中若仅用一个投影面上的投影图来表达物体， 一般情况下难以完全、准确地反映出物体的全部形状和结构 。通常采用三视图来克服这个缺陷。三视图是在三投影

3、面体 系中形成的。 3.2.1 三投影面体系 正面投影（主视图视图 ） 侧侧面投影（左视图视图 ） 水平投影面（俯视图视图 ） 3.2.2 三视图视图 及其投影规规律 注意：空间的Y轴，在平面三视图上被拆分为YH、YW 。 三视图视图 的位置关系: 以主视图为 准，俯视图在主视图的正下方，左视图在 主视图的正右方。 主视图反映物体的上、下和左、右位置关系；俯视图 反映物体的前、后和左、右位置关系；左视图反映物体的 上、下和前、后位置关系。 俯视图和左视图中，靠近主视图的一侧是物体的后面 ，而远离主视图的另一侧是物体的前面。 三视图视图 的度量关系： 主视图和俯视图的长度(沿X轴方向的尺寸)相等

4、；主 视图和左视图的高度(沿Z轴方向的尺寸)相等；俯视图和 左视图的宽度(沿Y轴方向的尺寸)相等。三个视图之间符 合“长对长对 正、高平齐齐、宽宽相等”的投影规律。 作图时，规定物体可见轮廓线的投影用粗实线画，不可 见轮廓线的投影用细虚线画。 【例3-1】 根据图a中物体的俯视图和左视图，画出该物体 的主视图。再根据图b中物体的主视图和俯视图，画出该 物体的左视图 图a 图b 【解】 3.3 物体表面几何元素在三视图视图 中的投影特点 3.3.1物体表面上点的投影 根据投影关系，a和a有相同的x坐标值；a和a”有相同 的z坐标值；a和a”有相同的y坐标值，于是必有作图关系： 1) a与a的连线

5、连线 垂直于X轴轴； 2) a与a” 的连线连线 垂直于Z轴轴； 3) a到X轴轴的距离等于a”到Z轴轴的距离。 称这种作图关系为点的投影规规律。 观观察物体表面A点的投影 【例3-2】 如下图所示，已知A、B和C三点每个点的两个投 影，求作每个点的第三投影。 【解】 【例3-3】 如下图所示，已知A、B和C三点每个点的两个投 影。1)求作每个点的第三投影。2)判断各点的相互位置。 【解】1 ） 2）A、B两点无左右之分，C点在A、B两点右侧；A、B两点 无前后之分，C点在A、B两点后面；A点低于C点，C点低于 B点。 3.3.2 物体表面上直线线的投影 在三投影面体系中，根据空间直线与投影面

6、的相对位置 关系可将其分为特殊位置直线和一般位置直线。一般位置 直线是与三个投影面都不平行的直线，特殊位置直线是指 与一个或两个投影面平行的直线。若特殊位置直线只平行 于一个投影面，则与其他两个投影面是倾斜的；若特殊位 置直线平行于两个投影面，则与余下那个投影面是垂直的 。 掌握这些特点，有利于作出物体表面上直线的投影。 1. 特殊位置直线线的投影特性 1) 在所平行的投影面上的投影与空间直线长 度相等，这个投影与该投 影面两轴的倾角，分别是该空间直线与另两个投影面的实际夹 角； 2) 在所垂直的投影面的投影积聚为一个点； 3) 若有两个投影平行于某轴，则该 直线垂直于以此轴为 法线的投影 面

7、； 4) 若有两个投影垂直于某轴，则该 直线平行于以此轴为 法线的投影 面。 1. 特殊位置直线线的投影特性 1) 在所平行的投影面上的投影与空间直线长 度相等，这个投影与该投 影面两轴的倾角，分别是该空间直线与另两个投影面的实际夹 角； 2) 在所垂直的投影面的投影积聚为一个点； 3) 若有两个投影平行于某轴，则该 直线垂直于以此轴为 法线的投影 面； 4) 若有两个投影垂直于某轴，则该 直线平行于以此轴为 法线的投影 面。 1. 特殊位置直线线的投影特性 1) 在所平行的投影面上的投影与空间直线长 度相等，这个投影与该投 影面两轴的倾角，分别是该空间直线与另两个投影面的实际夹 角； 2)

8、在所垂直的投影面的投影积聚为一个点； 3) 若有两个投影平行于某轴，则该 直线垂直于以此轴为 法线的投影 面； 4) 若有两个投影垂直于某轴，则该 直线平行于以此轴为 法线的投影 面。 1. 特殊位置直线线的投影特性 1) 在所平行的投影面上的投影与空间直线长 度相等，这个投影与该投 影面两轴的倾角，分别是该空间直线与另两个投影面的实际夹 角； 2) 在所垂直的投影面的投影积聚为一个点； 3) 若有两个投影平行于某轴，则该 直线垂直于以此轴为 法线的投影 面； 4) 若有两个投影垂直于某轴，则该 直线平行于以此轴为 法线的投影 面。 1. 特殊位置直线线的投影特性 1) 在所平行的投影面上的投

9、影与空间直线长 度相等，这个投影与该投 影面两轴的倾角，分别是该空间直线与另两个投影面的实际夹 角； 2) 在所垂直的投影面的投影积聚为一个点； 3) 若有两个投影平行于某轴，则该 直线垂直于以此轴为 法线的投影 面； 4) 若有两个投影垂直于某轴，则该 直线平行于以此轴为 法线的投影 面。 1. 特殊位置直线线的投影特性 1) 在所平行的投影面上的投影与空间直线长 度相等，这个投影与该投 影面两轴的倾角，分别是该空间直线与另两个投影面的实际夹 角； 2) 在所垂直的投影面的投影积聚为一个点； 3) 若有两个投影平行于某轴，则该 直线垂直于以此轴为 法线的投影 面； 4) 若有两个投影垂直于某

10、轴，则该 直线平行于以此轴为 法线的投影 面。 2. 一般位置直线线的投影特性 1) 三个投影对任一投影轴都是倾斜的； 2) 三个投影的长度都小于空间直线的实际长 度。 3.3.3 物体表面上平面的投影 在三投影面体系中，根据物体表面上平面与投影面的 相对位置，可以分为特殊位置平面和一般位置平面。一般 位置平面是与三个投影面都不垂直的平面，特殊位置平面 是指与一个或两个投影面垂直的平面。若特殊位置平面只 垂直于一个投影面，则与其他两个投影面是倾斜的；若特 殊位置垂直于两个投影面，则与余下那个投影面是平行的 。 1. 特殊位置平面的投影特性 1) 在所平行的投影面的投影反映实形； 2) 在所垂直

11、的投影面上的投影积聚为一条直线； 3) 在所倾斜的投影面上的投影为该 特殊位置平面的类似形； 4) 若有两个投影为直线，则都垂直于某轴，且该平面平行于以此轴为 法线的投影面； 5) 若有一个投影在某投影面是倾斜直线，则在另两个投影面上的投影是 该特殊位置平面的类似形。倾斜线与两轴的夹角分别是该特殊位置平 面与另两个投影面的实际夹 角。 1. 特殊位置平面的投影特性 1) 在所平行的投影面的投影反映实形； 2) 在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线； 3) 在所倾斜的投影面上的投影为该 特殊位置平面的类似形； 4) 若有两个投影为直线，则都垂直于某轴，且该平面平行于以此轴为 法线的投影面； 5

12、) 若有一个投影在某投影面是倾斜直线，则在另两个投影面上的投影是 该特殊位置平面的类似形。倾斜线与两轴的夹角分别是该特殊位置平 面与另两个投影面的实际夹 角。 1. 特殊位置平面的投影特性 1) 在所平行的投影面的投影反映实形； 2) 在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线； 3) 在所倾斜的投影面上的投影为该 特殊位置平面的类似形； 4) 若有两个投影为直线，则都垂直于某轴，且该平面平行于以此轴为 法线的投影面； 5) 若有一个投影在某投影面是倾斜直线，则在另两个投影面上的投影是 该特殊位置平面的类似形。倾斜线与两轴的夹角分别是该特殊位置平 面与另两个投影面的实际夹 角。 1. 特殊位置平面

13、的投影特性 1) 在所平行的投影面的投影反映实形； 2) 在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线； 3) 在所倾斜的投影面上的投影为该 特殊位置平面的类似形； 4) 若有两个投影为直线，则都垂直于某轴，且该平面平行于以此轴为 法线的投影面； 5) 若有一个投影在某投影面是倾斜直线，则在另两个投影面上的投影是 该特殊位置平面的类似形。倾斜线与两轴的夹角分别是该特殊位置平 面与另两个投影面的实际夹 角。 1. 特殊位置平面的投影特性 1) 在所平行的投影面的投影反映实形； 2) 在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线； 3) 在所倾斜的投影面上的投影为该 特殊位置平面的类似形； 4) 若有两个投影

14、为直线，则都垂直于某轴，且该平面平行于以此轴为 法线的投影面； 5) 若有一个投影在某投影面是倾斜直线，则在另两个投影面上的投影是 该特殊位置平面的类似形。倾斜线与两轴的夹角分别是该特殊位置平 面与另两个投影面的实际夹 角。 1. 特殊位置平面的投影特性 1) 在所平行的投影面的投影反映实形； 2) 在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线； 3) 在所倾斜的投影面上的投影为该 特殊位置平面的类似形； 4) 若有两个投影为直线，则都垂直于某轴，且该平面平行于以此轴为 法线的投影面； 5) 若有一个投影在某投影面是倾斜直线，则在另两个投影面上的投影是 该特殊位置平面的类似形。倾斜线与两轴的夹角分别

15、是该特殊位置平 面与另两个投影面的实际夹 角。 2. 一般位置平面的投影特性 三个投影面上的投影都是该空间平面的类似形。 3.4 基本体的投影 基本体可看成是由基本二维面域（多边形、直角三角形 、圆等形成的面域）沿直线拉伸，或绕某一轴线旋转形成 的。若基本体表面仅由平面组成，称这样的基本体为平面 基本体；若基本体表面有曲面，称这样的基本体为曲面基 本体。 平面基本体上两相交表面产生的交线称棱线，求画平面基 本体的投影其实就是画这些棱线的投影（往往是求画棱线上 点的投影）。棱柱和棱锥是常见平面基本体。 3.4.1 平面基本体的投影 【例3-4】如下图所示，已知直六棱柱表面上A、B、C三个 点每点

16、的一个投影，作出每个点的另两个投影。 【解】 【例3-5】如下图所示，已知三棱锥表面上A、B两点每点的 一个投影，作出每个点的另两个投影。 【解】 3.4.2 曲面基本体的投影 圆柱体、圆锥 体和球体是常见的曲面基本体。从投射方向去看曲面，除 了看到曲面的面向投射方向的轮廓线以外，还可看到曲面上的转向轮廓线 （可见区域和不可见区域的分界线）。曲面基本体的投影是可见轮 廓线和 转向轮廓线的投影。 【例3-6】如下图所示，已知圆柱体表面A、B和C三点每个点 的一个投影，作出每个点的另两个投影。 【解】 【例3-7】如下图所示，已知圆锥体表面A、B两点每个点的 一个投影，求作每个点的另两个投影。 【解】 【例3-8】如下图所示，球体表面上有两条曲线AB和BCD， 已知两曲线的水平投影，求作它们的另两个投影。两曲线的 水平投影均为直线。 【解】 课课程任务务分