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1、广西民族大学 硕士学位论文 基于样条函数的偏微分方程数值解法 姓名：刘桂利 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：刘焕文 20080401 II 基于样条函数的偏微分方程数值解法基于样条函数的偏微分方程数值解法 摘摘 要要 本文讨论样条函数在偏微分方程数值解中的一些应用. 第一章对一元样条基本概念和三次样条求解微分方程的基本思想和均匀 划分下的基本公式以及多元样条作了些简单介绍. 第二章讨论了一元样条在偏微分方程中的一种应用方式, 针对四阶抛物 型方程周期初值问题, 提出了一个含参数0()h()h for the first initial-boundary value problem
2、 of convection-diffusion equation is presented. The method is unconditionally stable. The numerical example shows that the accuracy of the method is satisfactory and can be conveniently used to solve the second and third initial-boundary value problems. KEYWORDS: univariate spline; partial different
3、ial equation; collocation method; subdomain precise integration; segment scheme I 论文独创性声明论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文,是本人在导师的指导下,独立撰写完 成的.除文中已经注明引用的内容外,本论文不含其他个人或其他机构已经发 表或撰写过的研究成果,也没有剽窃、抄袭等违反学术道德规范的侵权行为. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本人 愿意承担由本声明而引起的法律责任. 研究生签名： 日期： 年 日 月 论文使用授权声明论文使用授权声明 本人完全了解广西民族大学有
4、关保留、使用学位论文的规定.学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档,可以采用 影印、 缩印或其他复制手段保存、 汇编学位论文.除在保密期内的保密论文外, 允许学位论文被查阅和借阅,可以公布（包括刊登）论文的全部或部分内容. 研究生签名： 日期： 年 日 月 导 师 签 名： 日期： 年 日 月 1 1 一元一元样条函数简介样条函数简介 所谓一元样条函数(univariate spline function)(简称一元样条)就是具有一定光滑 性的分段或分片定义的多项式函数. 各相邻段上的多项式之间又具有某种连接性质,因而 它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性, 又在
5、各段之间保持了相对独立的局部性质. 1946 年, I.J. Schoenberg 较为系统地建立了一元样条函数的理论基础. 但是,Schoenberg 的工作刚开始时并未受到重视. 从 60 年代开始, 随着电子计算机技术的飞速发展, 样条 函数得到了迅速的发展和广泛的应用. 现在, 样条在函数逼近、微分方程数值解、计算几 何、计算机辅助几何设计、有限元及小波等领域中均有较为重要的应用. 1.1 1.1 一元一元n次样条次样条 定义 1.1定义 1.1(1) 设给定一组结点 011NN xxxx + = ?. (1.1) 若分段函数( )s x满足条件: (1) ( )s x于每个区间 1
6、,(0,) jj x xjN + =?上,( )s x是一个次数不超过n的实系数代数多 项式; (2) ( )s x于(,) 上具有一直到1n 阶的连续导数. 则 称( )ys x=为n次 样 条 函 数 . 常 把 以 (1.1) 为 结 点 的n次 样 条 函 数 总 体 记 为 12 ( ,) nN Sx xx?, 12 , N x xx?称为样条结点. 以下定理给出了样条函数类 12 ( ,) nN Sx xx?中任一样条函数的一般表达式. 定理 1.1定理 1.1(1) 任一 12 ( )( ,) nN s xSx xx?均可唯一地表现为 1 ( )( )()() N n njj j
7、 s xpxcxxx + = =+ , (1.2) 其中( ),(1,) nnj pxP cjN=?为实数. 显然,由(1.2)式所给出的任一函数( )s x必然满足n次样条函数的定义,亦即 12 ( )( ,) nN s xSx xx?.因而定理可进一步写成 定理 1.2定理 1.2(1) 为使 12 ( )( ,) nN s xSx xx?,必须且只须存在( ) nn pxP和N个实数 (1,) j cjN=?,使得(1.1)式成立: 1 ( )( )()() N n njj j s xpxcxxx + = =+ (1.3) 定理 1.1 和定理 1.2 说明函数系 2 1 1, ,()
8、,() nnn N x xxxxxx + ? (1.4) 构成n次样条函数类 12 ( ,) nN Sx xx?的一组基底. 2 1.2 三次样条插值1.2 三次样条插值 定义 1.2 定义 1.2(2) 给定区间 , a b的一个分划 01 :, n axxxb=? (1.5) ( )s x为 , a b上满足下面条件的函数: (1) 2 ( ) , ;s xC a b (2) ( )s x在每个子区间 1 ,(0,1) jj x xjn + =?上是三次多项式. 则称( )s x为关于剖分的一个三次样条函数.如果再给定某个函数( )f x在剖分的结点上 的函数值(),0,1, , jj f
9、f xjn=?,并满足 (),0,1, jj s xfjn=?, (1.6) 则称( )s x为f在 , a b上关于剖分的三次样条插值函数. 三次样条函数在每个子区间 1 , jj x x + 上可以由三次多项式的四个系数唯一确定,所以 共有4n个参数.由( )s x本身及其一、二阶导数在每个内部结点上的连续性,共有3(1)n个 条件.利用插值条件(1.6)可以给出1n +个条件,其余两个条件则可由两个边界条件给出. 常用的三次样条插值函数的边界条件有下列三种类型: 型: 00 ()s xf=, () nn s xf=, (1.7) 型: 00 ()sxf=, () nn sxf=, (1.
10、8) 其特殊情况为 0 ()0sx=, ()0 n sx=. (1.8a) (1.8a)称为自然边界条件. 型： ( )( ) 0 ()() jj n sxsx=, 0,1,2.j= (1.9) 由型条件确定的( )s x称为周期样条函数. 接下来我们给出三次样条插值函数的M关系式： 设 1 ,0,1,1 jjj hxxjn + =?, 记 ( ), jj Ms x=0,1,jn=?.考虑到在每个子 区 间 1 ,(0,1) jj x xjn + =?上( )s x是一个三次多项式,并利用插值条件 11 (), () jjjj s xfs xf + =便 可得到 332 11 1 2 1 11
11、 ()() ( )() 666 (),. 6 jjjjj jjj jjj jjj jjj j xxxxM hxx s xMMf hhh Mhxx fxxx h + + + + =+ + (1.10) 这是三次样条插值函数的表达式.求出(0,1, ) j Mjn=?后,( )s x就由(1.10)完全确定了. 记 1 11 ,1, jj jjj jjjj hh hhhh = = + 3 11 6 ,(1,1). jjjj df xx xjn + =? 并令 000101 1,6 ,1,6 , nnnnn df x x xdf x xx =,那么,对于型边界条件(1.7),利用 (0)(0),1,
12、1 jj s xs xjn+=?.可得如下关于(0,1, ) j Mjn=?的线性方程组: 000 1111 1111 2 2 2 2 nnnn nnn Md Md Md Md = ? ? ? ? ? ? ? (1.11) 对于型边界条件(1.8),如果令 000 0,2,2 nn nnn dfdf=,则得到与(1.11)相同的关 于(0,1, ) j Mjn=?的线性方程组. 对于型边界条件(1.9),令 11 0010110 () ,1() , nnnnn h hhhhh =+= =+ 1 01101 6( ,)() nnnn df x xf xxhh =+.则得到如下关于(1, )M j
13、n=?的线性方程组(此时 0n MM=): 110 2221 1111 2 2 2 2 nnnn nnnn Md Md Md Md = ? ? ? ? ? ? (1.12) 方程组(1.11),(1.12)均称为M关系式2. (1.11),(1.12)的系数矩阵中元素, jj ,已完全 确定,并满足0,0,1 jjjj +=.因此系数矩阵为严格对角占优矩阵,从而有唯一解. 1.3 均匀划分下的三次样条基本公式1.3 均匀划分下的三次样条基本公式 三次样条数值求解微分方程的基本思想是3：分段用三次曲线来逼近真实解,在不同 的段上它们一般是不同的,但必须满足插值条件和连接条件.从而导出在节点处的函
14、数值、 一阶导数值及二阶导数值之间的基本关系式.把上述三类值作为未知量,直接代入微分方 程中, 结果得到一个有限的线性方程组,通过解线性方程组而求出微分方程的近似解. 设 i x为区间ba,上的节点,bxxxxa NN = = ii xxh,)(xu是定义 在ba,上的函数, 并且在节点上的值被表示为： ii uxu=)( 设)(),(xSpxuSp=表示三次样条函数, 在区间ba,的每个分段, 1ii xx 上都是三次多 项式, 且满足以下两组条件： 4 1） 插值条件：在节点处给定的函数值 i u,即 iiii uxSpxuSp=)(),(,1, 1 , 0+=Ni?. 2） 连接条件：在分点处具有连续的一阶和二阶导数,即 (0)(0) 1,2, (0)(0) ii
