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1、材料力学材料力学II 第三章能量法第三章能量法 主讲：韩玉林 东南大学 工程力学系 3.1 概述概述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形 而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变 能。 物体在外力作用下发生变形，物体的应变 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形 而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变 能。 物体在外力作用下发生变形，物体的应变V 在 数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的 功 在 数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的 功W ，即，即 V =W 3.2 杆件应变能杆件应变能 余能余能 一、轴向拉伸和压缩（复习）一、轴向拉伸和压缩（复习） VW =
2、 P P l l = 1 2 Pl= 1 2 P Pl EA EA lF EA lP N 22 2 2 = 2 ( ) d 2( ) N l Fx Vx EA x = 当当FN=FN(x)或截面变化或截面变化 A=A(x)时，可取微段：时，可取微段： 应变能的一般表达式 3.2 杆件应变能杆件应变能 余能余能 外力与位移关系是非线性时（可以是材料非线性引起的， 也可以是几何非线性引起的） 外力与位移关系是非线性时（可以是材料非线性引起的， 也可以是几何非线性引起的） l 1 P P1 o 例如拉杆的材料是非线性弹性体时，当外力由例如拉杆的材料是非线性弹性体时，当外力由0逐渐增大到逐渐增大到 P
3、1 时，杆端位移就由时，杆端位移就由0逐渐增到?逐渐增到?1，显然，显然P1与?与?1的关系也是非 线性的 的关系也是非 线性的。 。 P d P 1 0 WP d= 1 0 VWP d = 1 P P1 o 外力作功为外力作功为 l P 从拉杆中取出一个各边为单位长的单元体， ? 从拉杆中取出一个各边为单位长的单元体， ?l= 1= 作用在单元体上，下两表面的力为作用在单元体上，下两表面的力为p= 1 1= 其伸长量其伸长量 p p l P P P l 1 1 d 1 0 wd = 该单元体上外力作功为该单元体上外力作功为 ?l= p= 单位体积的应变能即比能为单位体积的应变能即比能为 1
4、0 wd = P P l 1 1 d 若取单元体的边长为若取单元体的边长为dx 、dy、dz，则该单元体的应变能为，则该单元体的应变能为 dV = v dx dy dz 令令 dx dy dz = dV 则整个拉杆内的应变能为则整个拉杆内的应变能为 VdVdV = 而外力而外力P1做功为：做功为： 1 0 (3.1)WP d= 1 0 WP d= 1 0 d = VdVdV = VW = 应变能的一般表达式（适用于线性和非线性关系）：应变能的一般表达式（适用于线性和非线性关系）： 线性关系条件下，杆件的应变能线性关系条件下，杆件的应变能 一、轴向拉伸和压缩（复习）一、轴向拉伸和压缩（复习） V
5、W = P P l l = 1 2 Pl= 1 2 P Pl EA EA lF EA lP N 22 2 2 = 2 ( ) d 2( ) N l Fx Vx EA x = 当当FN=FN(x)或截面变化或截面变化 A=A(x)时，可取微段：时，可取微段： 单向拉伸的单元体的应变能单向拉伸的单元体的应变能 dx dx+ edx 2 2 2 111 222 2 2 dld dldxdx E VdWdxdydz E fdy dVdV v E x E dVdxdy z E z d d v = = = = 单元体的总变形量： 单元体应变能：d 单位体积应变能：或 1 2 VWF l = 整个杆件的应变
6、能 整个杆件的应变能整个杆件的应变能V 与单位体积应变能 与单位体积应变能v V Vv dV = ?若单位体积应变能若单位体积应变能v 为常量，那么 为常量，那么 V Vv dVv V = ?单位体积应变能单位体积应变能v 也称为应变能密度 也称为应变能密度 二、扭转（复习）二、扭转（复习） VW = m m = 1 2 m = 1 222 22 m ml G I m l G I T l G I ppp 2 ( ) d 2( ) pl Tx Vx GIx = 当当T=T(x)或截面变化或截面变化 A=A(x)时，可取微段：时，可取微段： dx dy dz x y z a b d 图图3-13
7、(a) 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能 纯剪切应力状态下的比能纯剪切应力状态下的比能 假设单元体左侧固定， 因此变形后右侧将向下 移动 假设单元体左侧固定， 因此变形后右侧将向下 移动 dx。 因为 很小，所以在变形过程 中上，下两面上的外力将不作 功 。 因为 很小，所以在变形过程 中上，下两面上的外力将不作 功。只有右侧面的外力只有右侧面的外力( dydz) 对相应的位移对相应的位移 dx 作了功作了功。 dx 当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此， 单元体上外力所作的功为 当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此， 单元体上外力所作的功为 1
8、1 ()()()( ) 22 dWdydzdxdxdydza= 1 ( ) 2 dVdWdW b dVdVdxdydz = 比能为比能为 G= 将代如上式得将代如上式得 2 2 (319 , ) 22 G b c G = 1 2 = (319a)dx dy dz x y z a b d 图图3-13 (a) dx VlA VdVdAdx = 等直圆杆扭转时应变能的计算等直圆杆扭转时应变能的计算: 两端受外力偶矩两端受外力偶矩Me作用作用, T= Me (321 a) 2 22 22 () () 2222 P lAlAA PP T IlTT l VdAdxdAdxdA GGG IGI = 2 2
9、 e p M l V GI = (321 b) 2 2 22 G G = PP GI ml GI Tl = 将代入上式得将代入上式得 2 (3 21 ) 2 P GI Vc l = 三、弯曲（复习）三、弯曲（复习） VW = 纯弯曲： 横力弯曲： 纯弯曲： 横力弯曲： 2 ( ) d 2( ) l Mx Vx EI x = = 1 2 m= 1 2 m ml EI = m l EI M l EI 22 22 1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 V =W 2、线弹性范围内且是几何线性时，若外力从、线弹性范围内且是几何线性时，若外力从
10、0缓慢的增加到最终值：缓慢的增加到最终值： 1 2 VWP =则：其中： P-广义力广义力 -广义位移广义位移 拉、压： N N F L LPF EA = =轴力 扭矩TP EI TL P =扭转：扭转： 弯矩MP EI ML z =弯曲：弯曲： 结论结论： 组合变形应变能（线性条件下）的普遍表达式组合变形应变能（线性条件下）的普遍表达式 222 ( )( )( ) ddd 2( )2( )2( ) N plll FxTxMx Vxxx EA xGIxEI x =+ 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位 移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其 相应的位移做功时，有： 截面上存在几
11、种内力，各个内力及相应的各个位 移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其 相应的位移做功时，有： 关于上述变形能计算的讨论：关于上述变形能计算的讨论： 1以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。 2变形能可以通过变形能可以通过外力功外力功计算，也可以通过杆件微段上的计算，也可以通过杆件微段上的内力功内力功等于 微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。 等于 微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。 3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理叠加原理在变形能计 算中
12、 在变形能计 算中不能随便使用不能随便使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的 位移上不做功时，才可应用。 。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的 位移上不做功时，才可应用。 4 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各 杆可独立选取坐标系。 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各 杆可独立选取坐标系。 关于简单变形条件下，变形能计算的讨论（强调）：关于简单变形条件下，变形能计算的讨论（强调）： 变形能的计算有两种方式：变形能的计算有两种方式： 一种由外力做功等价为变形能。外力同位移间不一定是线性关系。一种由外力做功等价为变形能。外力同位移间不一定是线性
13、关系。 另一种通过杆件微段上的内力功等于微段的变形能，然后积分求得 整个杆件上的变形能。如果是线弹性材料则实际上是通过最终应力 乘以最终应变再除以 另一种通过杆件微段上的内力功等于微段的变形能，然后积分求得 整个杆件上的变形能。如果是线弹性材料则实际上是通过最终应力 乘以最终应变再除以2。如果：如果： 如果是线弹性材料，则实际上是通过单元体最终应力乘以 最终应变再除以 如果是线弹性材料，则实际上是通过单元体最终应力乘以 最终应变再除以2（得到比能），再对整个杆件积分。（得到比能），再对整个杆件积分。 如果是非线性弹性材料，则实际上是通过单元体应力应变 关系曲线的积分（得到比能），再对整个杆件积
14、分。 如果是非线性弹性材料，则实际上是通过单元体应力应变 关系曲线的积分（得到比能），再对整个杆件积分。 例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 能原理求自由端 例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。的挠度。 解：解： M xP x( ) = 2 ( ) d 2 l Mx Vx EI = = ()Px EI x l 2 0 2 d= P l EI 2 3 6 1 2 B WP w= VW =由，得 3 3 B Pl w EI = 例：试求图示梁的应变能，并利用功能原 理求 例：试求图示梁的应变能，并利用功能原 理求C截面的挠度。截面的挠度。 解：解： 2 ( ) d 2 l Mx Vx EI = =+ P b EI l aP a EI l b 22 2 322 2 3 2323 1 2 C WP w= = + Pb l x EI x Pa l x EI x ab 1 2 1 0 2 2 2 0 22 dd = P a b EI l 222 6 VW =由，得： 22 3 C Pa b w EIl = 例：试求图示四分之一圆曲杆的应变能， 并利用功能原理求 例：试求图示四分之一圆曲杆的应变能， 并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知截面的垂直位移。已知EI
