《高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章优化总结 湘教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章优化总结 湘教版选修2-1（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本章优优化总结总结 章空间向量与立体几何 专题探究精讲 本 章 优 化 总 结 知识体系网络 章末综合检测 知识体系网络 专题探究精讲 专题一专题一空间向量与空间位置关系 用向量方法证证明平行与垂直问题问题 的一般步骤骤是 ： (1)建立立体图图形与空间间向量的关系，利用空间间 向量表示问题问题 中所涉及到的点、线线、面，把立体 几何问题转问题转 化为为空间间向量问题问题 (2)通过过向量的运算研究平行或垂直关系，有时时 可借助于方向向量或法向量 (3)根据运算结结果解释释相关的问题问题 例例1 1 已知，在四棱锥锥PABCD中，PC平面 ABCD，PC2，在四边边形ABCD中，BC 90，A
2、B4，CD1，点M在PB上，且PB 4PM，PB与平面ABC成30角求证证： (1)CM平面PAD； (2)平面PAB平面PAD. 【思路点拨拨】 条件中有诸诸多垂直关系，具备备 建立空间间直角坐标标系的条件，可以利用向量解 决 【证证明】 如图图所示，建立 空间间直角坐标标系Cxyz. (1)PC平面ABCD， PBC为PB与平面ABC所 成的角，PBC30. 【名师师点评评】 在用向量方法证证明平行和 垂直时时，同样样需要立体几何最基本的定理， 比如本题题中，要证证明直线线与平面平行，我们们 现现在还还没有更好的计计算手段，必须须依靠直线线 与平面平行的判定定理来证证明直线线的方向向 量与
3、平面内的某个向量共线线，从而得到直线线 和平面平行 专题二专题二空间向量与空间角 (1)求异面直线线所成的角 设设两异面直线线的方向向量分别为别为 n1、n2，那么 这这两条异面直线线所成的角为为n1，n2或 n1，n2， cos|cosn1，n2|. (2)求斜线线与平面所成的角 如图图，设设平面的法向量为为n1，斜线线OA的方 向向量为为n2，斜线线OA与平面所成的角为为， 则则sin|cosn1，n2|. (3)求二面角的大小 如图图，设设平面、的法向量分别为别为 n1、n2. 因为为两平面的法向量所成的角(或其补补角)就等 于平面、所成的锐锐二面角，所以cos |cosn1，n2|.(
4、注：其中的n1，n2表示向 量n1与n2所成的角) 例例2 2 【思路点拨拨】 可建立空间间直角坐标标系，求出 两个平面的法向量，通过过法向量的夹夹角进进行求解 【名师师点评评】 此题题所求的二面角是一个 无棱二面角，对对于这这种求无棱二面角的问题问题 ，用空间间向量求解时时，无需作出二面角的平 面角，从而体现现了空间间向量的重要作用 专题三专题三 利用空间向量求距离 例例3 3 已知空间间中点的坐标为标为 A(2,3,1)，B(4,1,2)， C(6,3,6)，D(5，4,8)，求点D到平面ABC的距 离 【名师师点评评】 用向量的知识识来解决立体 几何问题问题 是现现在高考出题题的一个趋势
5、趋势 ，要将 立体几何的问题转问题转 化为为与向量有关的知识识， 因为为引入向量之后简简化了一些繁琐琐的作辅辅助 线寻线寻 找垂线线，平面角等步骤骤，为为了更好地利 用向量的特点，一般都要在解决的图图形中建 立坐标标系，经经常是利用图图形中的垂直直线线来 建坐标标系 解题题即是对对命题题的转转化，解题题中要注意将立体 几何问题问题 向平面几何问题转问题转 化，即立体问题问题 平 面化在论证线线论证线线 、线线面、面面关系中的平行 与垂直问题时问题时 ，要注意平行与垂直关系的转转化 ，求角与距离时应时应 将空间间中的距离与角转转化为为 向量的投影的长长度或向量的夹夹角 专题四专题四转化与化归的数
6、学思想 例例4 4 【解】 (1)证证明：取AC中点O，连连接OS、 OB. SASC，ABBC，ACSO且 ACBO. 平面SAC平面ABC，平面SAC平面 ABCAC， SO平面ABC，SOBO. 【名师师点评评】 本题题中(2)的求解是将二面 角问题转问题转 化为为两平面法向量的夹夹角，而(3)中 点到平面的距离的求解是将所求距离转转化为为 向量的投影的长长度，这这两种转转化方法是立体 几何问题问题 的常见见解法，使用这这两种方法时时要 将点的坐标标写准，平面的法向量求正确 存在性问题问题 即在一定条件下论证论证 会不会出 现现某个结论结论 这类题这类题 型常以适合某种条件的 结论结论
7、“存在”、“不存在”、“是否存在” 等语语句表述解答这类问题这类问题 ，一般要先对结对结 论论作出肯定的假设设，然后由此肯定的假设设出 发发，结结合已知条件进进行推理论证论证 ，若导导致合 理的结论结论 ，则则存在性也随之解决；若导导致矛 盾，则则否定了存在性 专题五专题五利用空间向量解决存在性问题 (2011年高考浙江卷)如图图，在三棱锥锥 P ABC中，ABAC，D为为BC的中点，PO平 面ABC，垂足O落在线线段AD上，已知BC8， PO4，AO3，OD2. (1)证证明：APBC； (2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角 A MC B为直二面角？若存在，求出AM的长； 若不存在，请说明理由 例例5 5
