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1、 第七章 不等概抽样 放回不等概率抽样 不放回不等概率抽样 利用软件进行抽样和计算 案例分析 第一节 不等概率抽样概述 一、不等概率抽样的必要性 1、在简单随机抽样中，总体(或层)中的每个单 元入样的概率都相等。等概率抽样的特点是总 体中的每个单元在该总体中的地位(或重要性) 相同，在抽样时对每个单元采取的是“不偏不 倚”的态度 。等概率抽样不仅实施简单，而且 相应的数据处理公式也简单。但是在许多实际 问题中，我们还需要使用不等概率抽样 (sampling with unequal probabilities)。 2、抽样单元在总体中所占的地位不一致：例 如：要反映某小麦品种的优良情况，以村作
2、 为抽样单位，但各村的种植面积不同，一些 种植面积大的村庄在抽样中是否被抽中对推 断总体的结果有很大影响 ，所以让“大单元 ”被抽到的概率大，“小单元”被抽到的概 率小，这样能够大大提高样本的代表性，减 少抽样误差。 不等概率抽样概述 不等概率抽样的特点 2、不等概率抽样的主要优点是由于使用了辅 助信息，提高了抽样策略的统计效率， 能 显著地减少抽样误差。 1、凡需使用不等概率抽样的场合，必须提供总体单 元的某种辅助信息。 例如：每个单元的“大小”度量Mi。注意：比估计 和回归估计是估计方法用到了辅助信息，本章是抽 样方法用到辅助信息. 不等概率抽样的特点 3、抽样框的创建比简单随机抽样和系统
3、抽样成本 高，更复杂，因为需要存储总体中每一个单元 的度量大小； 4、并非在任何情况下都能使用，因为并不是每一 个总体都有稳定且与主要调查变量相关的有关 大小或规模的度量； 5、抽样及估计（特别对不放回抽样）相当复杂； 6、 当单元大小度量不准确或不稳定时不适用。 6 不等概率抽样的分类 放回不等概抽样：按照总体单元的规模大小来确定在每次抽 中的概率。抽取后放回总体，再进行下一次抽样，每次抽 样都是独立的。这种抽样称为放回不等概抽样(sampling with probabilities proportional to sizes，简称PPS抽样) 不放回的不等概抽样：每次在总体中对每个单元按
4、入样概 率进行抽样，抽出的样本不再放回总体，因此，在抽取了 第一个单元后，余下的单元再以什么概率被抽取就较复杂 。 这种抽样不是独立的，无论是抽样方法还是方差估计，都 要比放回抽样繁复得多。不放回抽样通常称为PS抽样。 放回不等概抽样 PPS抽样：有放回的不等概抽样 在PPS抽样中，赋予每个单元与Mi相等的代码 数，将代码数累加得到M0，每次抽样都等概产 生一个1，M0之间的随机数，设为m，代码m 所对应的单元被抽中。 放回不等概率抽样实施方法 1.代码法 累计代码 10.66616 214.51451517151 31.515166152166 413.7137303167303 57.87
5、8381304381 615150531382531 710100631532631 83.636667632667 9660727668727 101.111738728738 73.8738 例5.1 设某个总体有10个单元，相应的单元大小及其代码 数如下表，在其中产生一个n=3的样本。 假设在1,738 中等概产生第一个随机数为354，再在1,738中产生第二 个随机数为553，最后在1,738中产生第三个随机数为493，则它们所对 应的第5，7，6号单元被抽中。 Mi*10 例：假设有10个乡，每个乡的村庄数不同，按pps抽3个乡 乡村庄数Mi累计代码 155 15 22833 633
6、 32659 3459 41473 6073 51083 7483 638121 84121 77128 122128 850178 129178 92180 179180 108188 181188 结合一下整群抽样、 多阶段抽样 2.拉希里法(二次抽取法)（统计学家Lahiri最先提出） ： 设 M1, M2,MN为单元的规模 放回不等概率抽样实施方法 拉希里法抽样举例： 例5.1中，M=150,N=10.在1,10,1,150 中分别产 生（ i,m）如下: 第一次 (3,121) , M3=15121, 舍弃，重抽 ； 第二次（8，50），M8=3677, 第7号单元入样； 第四次（5
7、，127），M5=7877, 第4号单元入样； 第六次(9,60),M9=6060, 第9号单元入样； 因此第4，7，9号单元被抽中。 三、Hansen-Hurwitz（汉森-郝维茨）估计量及其性质： 因为是放回抽样，所以是独立样本，数理统计的结 论可以在这里应用。 放回不等概率抽样对总体特征的估计 对上述结论加以说明： 独立同分布样本y1y2yn 抽中概率z1z2zn 新变量 ty1/ z1y2 /z2yn/zn 汉森-赫维茨估计量估计给出总体总量的估计, 如果对总体均值估计可按下公式： 例：某县农业局要调查全县养猪专业户今年生猪的出栏头 数，现有全县365个养猪专业户去年的生猪存栏数，各专
8、业 户的规模相差较大，决定以放回方式按与各养猪专业户上 年末生猪存栏头数成比例的PPS抽样 从中抽取30户进行调 查，结果如下，已知全县养猪专业户上年末生猪存栏头数 为9542头，试估计该县养猪专业户生猪今年出栏总头数和 抽样标准误。（摘自：“应用抽样技术”李金昌） imiyiimiyiimiyi 1157511402582119124 22313412321862226160 39371317692337215 42915214261562421104 584515114925749 63118516362212643336 7241331725145271896 8291731853328
9、30177 913741938288 1019872042304 其中第2、19号被抽中两次 解：根据题中所给资料，n=30,M0=9542, 利用汉森-郝维茨估计量，则有： 例5.2：某部门要了解所属8500家生产企业当月 完成的利润，该部门手头已有一份去年各企 业完成产量的报告，将其汇总得到所属企业 去年完成的产量为3676万吨。考虑到时间紧 ，准备采用抽样调查来推算当月完成的利润 。根据经验，企业的产量和利润相关性比较 强，且企业的特点是规模和管理水平差异比 较大，通常大企业的管理水平较高些，因此 采用与去年产量成比例的PPS抽样，从所属企 业中抽出一个样本量为30的样本。 1*38.2
10、310926105.501900191.5010 213.7010241115.00864208.0080 30.7513127.00172128.4213672 42.85301315.00104522*9.013845 52.0011021412.30220230.75480 65.00600153.864600245.00311 710.802901615.8023702528.439284 82.00430179.00940269.97842 98.8199218*21.00640275.20510 773861.05 相对误差达到20时所需样本量： 解 ： 有放回不等概整群抽样 群规
11、模不等的整群抽样中，可采用等概和不等概抽样； 如果群规模差异不大，可采用等概抽样；如果群规模差异 较大，各个群对总体的影响不同，此时采用不等概抽样。 把群规模作为辅助信息，能提高估计精度，而且方差估计 形式简单。但在抽样时要掌握辅助信息，比简单随机复杂 。 假设群的抽取是按与 Mi成比例的pps抽样，每次按 Zi=Mi/M0（i=1,2，N）的概率抽取第i个群。 由汉森-赫维茨估计量， pps整群抽样总体总值估计量为 例 某企业欲估计上季度每位职工的平均病假天数。该 企业共8个分厂，现用不等概整群抽样拟抽取3个分厂， 并以置信度95%计算其置信区间。 分厂编号 职工人数 Mi 累积区间 1 2
12、 3 4 5 6 7 8 1200 450 2100 860 2840 1910 390 3200 11200 12011650 16513750 37514610 46117450 74519360 93619750 975112950 有放回不等概整群抽样 解：n3，采用PPS抽样，随机抽取的3个数为02011 ，07972，10281。调查结果如下： 有放回不等概整群抽样 注：1、对于群规模不等的整群抽样，采用不等概PPS抽 样，可以得到总体目标量的无偏估计， 2、估计量和估计量的方差都有比较简明的形式，估 计的效率也比较高，是值得优先考虑采用的方法， 3、使用条件：在抽取样本前，要掌握
13、各群规模的信 息。 多阶段有放回不等概抽样 当初级单元规模不等时，常采用不等概抽样。对初级单 元进行PPS抽样时，事先规定每个初级单元被抽中的概率 Zi=Mi/M0 (i=1N),可利用代码法，对抽中的初级单元再抽 取mi个二级单元；如果对第二阶段实行简单随机抽样，且 抽相同的样本数（第一阶段抽出来的一般是单元的规模较 大，而且彼此差别不大），此时估计形式较简单，且是自 加权的。这是实际中经常采用的多阶段不等概抽样法。 多阶段有放回不等概抽样 实际工作中，如果初级单元大小不等，人们喜欢： 1、第一阶段抽样时按放回的与二级单元成比例的PPS抽 样； 2、第二阶抽样进行简单随机抽样，且抽的样本量相
14、同， 这样得到的样本是自加权的，估计量的形式也非常简单 。 例：某县农村共有14个乡509个村，在实现小康的进程中 欲计算该县农村的恩格尔系数，即居民户的食品支出占 总支出的比例。首先要调查全县的食品总支出，现采用 了二阶段抽样，第一阶段先在14个乡中，按村的数目多 少进行PPS抽样，共抽了5个乡，第二阶段在抽中的乡中 随机地抽选6个村，然后对抽中的村做全面调查，取得的 数据如下，估计全县的食品支出总额及其标准误。 样本乡序号村数样本村数 样本村平均食品支出（万元 ） 119648 2416175 3726108 454690 5366100 多阶段有放回不等概抽样例题分析 多阶段有放回不等概
15、抽样例题分析 误差有点偏大，要想提高估计精度，必须 增加第 一阶段的样本量 例；某小区有10座高层建筑，每座高层建筑 拥有的楼层数如下表， 高层 建筑 ABCDEFGHIJ 楼层12121615101610181620 用二阶段抽样方法抽出10个搂层进行调查，第一阶段 PPS抽出5座建筑，第二阶段按简单随机抽样对每座建筑 抽取两个楼层，具体数据如下表所示，对小区总居民进 行估计，并给出估计的误差。 初级样本序号12345 居民数18，1215，1819，13 16，1016，11 多阶段有放回不等概抽样例题分析 解：已知n=5,m=2,M0=145, 这时，多阶抽样的总样本量可以这样确定： 1
16、.根据简单随机抽样时应抽样本量 2.再乘以设计效应deff获得。 多阶抽样与简单随机抽样相比其效率比较低，deff 应该大于1。实际工作中，可取deff的经验数据。不同项 目的deff不同。 下面是一案例分析 多阶有放回不等概抽样 例: 某调查公司接受了一项关于全国城市成年居 民人均奶制品每天至少喝一杯奶的人数的比例 情况的调查。确定抽样范围为全国地级及以上 城市中的成年居民。成年居民指年满18周岁以 上的居民。 第一步：确定抽样方法。 调查公司决定采用多阶抽样方法进行方案 设计，调查的最小单元为成年居民。确定调查 的各个阶段为城市、街道、居委会、居民户， 在居民户中利用 简单随机法抽取成年居民。 第二步：确定样本量及各阶
