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1、6.1 概述 对于线弹性结构，体系中杆件的内力分布与其变形之间 存在着一一对应的关系。在结构分析时，可以根据位移变 形内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆 件变形，据此以寻求内力分布。 位移法计算中重要的一环内容在于杆件变形分布的描述 。线弹性体系杆件的变形可以由杆端位移和其上作用的荷载 分布惟一确定。由于荷载分布对内力和变形的影响比较容易 确定，因此，关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布 的影响。体系中各杆件的杆端位移可以通过结点和支座的位 移表达，因而，当支座位移和结点位移确定后，体系中所有 的杆件都将具有一个明确的杆端位移值。 第6章 位移法 All Rights Res
2、erved重庆大学土木工程学院 对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量A的值 。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 从刚架中取出杆件AB进行分析 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 在位移法分析中，需要解决的三个问题： 选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。 确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函 数关系（单元分析）。 建立求解这些基本未知量的位移法方程（整体分析） 。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 6.2 等截面直杆的转角位移方程 应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定杆件的杆端内力与杆端位
3、移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方程，也就是位移法 计算中单元分析的过程。 6.2.1 杆端内力及杆端位移的正负号规定 1）杆端内力的正负号规定 杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。对结点 或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆 端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 2）杆端位移的正负号规定 角位移以顺时针为正，反之为负。 线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动 的线位移为正，反之为负。例如，图中，AB为正。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 6.2.2 一般
4、等截面直杆杆单元的转角位移方程 位移法中，内力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位 移的影响，为了描述上的方便，在计算中一般利用一个两端固 定的杆单元来描述体系中的一般杆件，杆端位移即可以根据该 杆单元的支座位移来表达 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的 杆端弯矩也常称为固端弯矩，用 和 表示；杆端 剪力也常称为固端剪力，用 和 表示。常见荷载 和温度作用下的载常数列入表6.1中。 由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，列入表 6.1中。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。 All Rights Reserve
5、d重庆大学土木工程学院 利用表6.1中的形常数与载常数，可得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 6.2.3 特殊等截面直杆杆单元的转角位移方程 若在结构中存在非刚性结点和非固定支座时，即体系 出现了铰结点和定向结点（对应于支座位置，则为可动铰 支座、固定铰支座或定向支座），在杆端力的几个分量中 则会出现某杆端力分量为已知的现象。 即在这样的单元中，式（6.1）的三个函数关系将不再 完全独立，由于其中一个方程左端项（杆端力）为已知， 那么在杆端位移中，将只能存在两个独立的未知杆端位移 分量，而剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆 端位移来线性描述。 All Rig
6、hts Reserved重庆大学土木工程学院 由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基 本未知量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以根 据单元杆端的约束模式，在计算前对基本未知量进行筛选 ，去除非独立的杆端位移分量，以减少计算线性方程组的 工作量。由此即在一般杆元的基础上衍生出了两种特殊杆 单元模型。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 1) 一端固定另一端铰支杆单元 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 2) 一端固定另一端定向支承杆单单元 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 在3种杆单元模型中，第一种即两端固定
7、支承梁的模 型在不考虑轴向变形时具有三个未知杆端位移，它完全可 以取代后两种衍生模型。若全部用第一种单元模型进行计 算，在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移 方程将具有一致的形式，对应的计算方法可以较为容易地 移植到计算机化的程序分析中；但用于手算时，却会导致 因未知量数目较多，而计算量偏大的情况。 一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引 入，则可以简化分析计算量，所以手算时一般都会使用这 两种衍生模型来进行计算。但应该注意形常数与载常数的 选用必须与所选择的杆件单元模型相对应。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 杆端剪力，根据平衡条件导出为 All
8、 Rights Reserved重庆大学土木工程学院 6.3 位移法的基本概念 6.3.1 位移法的基本未知量 如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对 线位移都已求得，则全部杆件的内力即可确定。在位移 法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 1) 结点角位移的确定 未知独立的结点角位移在通常情况下对应于体系中的刚 结点，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹 性支座的转角时，应一并计入在内。 结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座移动 值，不应计入； 铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，引入特殊杆 端约束模式
9、下杆单元模型（一端固定、一端铰支单元）后， 其杆端转角也不再作为位移法的基本未知量。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 2) 结点线位移的确定 确定位移法中线位移未知量的方法：由观察确定。即 设定体系中每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最 多可能具有两个线位移，然后筛选出其中的未知、独立分 量。主要考虑以下的筛选原则： 因刚性支座的存在，线位移为零或为已知值（对应于 支座移动）的不计入未知量； 因轴向变形忽略不计而多个结点线位移相同的，则只 计其中一个； 定向支承杆端力已知，对应的线位移非独立，不计 入独
10、立的线位移内。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 6.3.2 位移法的基本结构和基本体系 为为了在分析过过程有效控制结结构中每一结结点位移，通 过过在体系中增设设附加约约束来控制结结点位移的发发生。 增设设了附加约约束的结结构模型，即为为位移法计计算中的 基本结结构。 附加约约束：角位移处处的附加刚刚臂和线线位移处处的附加 支杆。 附加刚刚臂，就是在每个可能发发生独立角位移的刚结刚结 点和组组合结结点上，人为为地加上的一个能控制其角位移(但 并不阻止其线线位移)的附加约约束 附加支杆，就是在每个可能发生独立线
11、位移的结点上 沿线位移的方向，人为地加上的一个能控制其线位移大小 的附加支座链杆。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 a) 原结构及其基本未知量b) 基本结构 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 通过控制基本结构上的附加约束，令其发生与原结构相 同的结点位移，从而形成一个在荷载与结点位移共同作用下 的，与原结构变形完全相同的受力模型。该受力模型即为位 移法计算中的基本体系，基本体系与原结构完全静力等效。 6.3.3 位移法的基本方程与基本原理 基本体系的变形与原结构完全一致，其受力也完全相同 。 All Rights Reserved重庆大学土
12、木工程学院 1) 只有一个结点角位移的情况 图示(a)结构，具有一个独立的未知结点角位移，不存 在结点线位移。根据基本结构的概念，在角位移处增设刚 臂，得基本结构 a) 原结构c) 基本体系b) 基本结构 荷载作用下，原结构变形图如图(a)所示，则其基本体系 应如图 (c)所示。当刚臂转角与原结构A点转角相同时，图(a) 与图(c)变形、内力均完全相同。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移Z1 分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠 加 由于基本体系与原结构完 全静力等效，基本体系中角 位移位置处的附加刚臂不
13、可 能存在外力，必然有 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 形常数，将Z1角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示 从而得到 这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质 是表达了基本体系在结点位移处的平衡条件 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 MP图 图 M图 结构的最后弯矩可由叠加公式计算 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 图示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点 D加一附加支座链杆，就得到基本结构。其相应的基本体系如图所
14、 示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。 位移法方程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 6. 4 位移法的典型方程 (a) 原结构 (b) 基本结构 (c) 基本体系 基本体系上附加刚臂的反力矩F1及附加支杆的反力F2都应等于零 即F1=0和F2=0 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 设基本结构由于Z1、Z2及荷载单独作用，引起相应于 Z1的附加刚臂的反力矩分别为F11、F12及
15、F1P，引起相应 于Z2的附加支座链杆的反力分别为F21、F22及F2P。根据 叠加原理，可得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 又设单位位移Z1=1及Z2=1单独作用时，在基本结构附加刚臂上 产生的反力矩分别为k11及k21，在附加支座链杆中产生的反力分别为 k12及k22，则有 将式（b）代入式（a），得 (a) (b) 上式称为位移法典型方程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反 力矩和反力都应等于零。因此，它实质上反映了原 结构的静力平衡条件。 位移法典型方程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 联联立解以上两个方程求 出Z1和Z2后，即可按叠 加原理作出弯矩图图 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 对于具有n个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入n个附加 约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件，同样 可建立n个方程如下： 上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数kii称为主 系数或主反力；其他系数kij称为副系数或副反力；FiP称为自由项。 All R
