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1、华中科技大学 硕士学位论文 连分数部分商的相对增长性 姓名：鄢志勇 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：吴军 20090516 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘摘 要要 任意的无理数都可以把它展成连分数的形式 (0,1)x 123 1 2 3 1 , 1 1 xa a a a a a = + + + ? ? 其中为正整数， 并且有?, 321 aaalim n n n p x q =， 其中 121 , n nn n p a aaa q =?为x的第n个 渐进分数。 这里我们主要研究的是使 1 log lim log|
2、 n n n n a p x q + 极限存在但不等于 0 或者使极限 不存在的那些所组成集合的 Hausdorff 测度与 Hausdorff 维数。 (0,1)x 关键词：关键词：Hausdorff 测度 Hausdorff 维数 连分数 部分商 I 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 II Abstract In this note we look at the rate of growth of the partial quotients of the irrational number i a 123 ,xa a a=? r
3、elative to the rate at which x is approximated by its rational convergents. For irrational, let (0,1)x n n p q be the sequence of rational convergen given by the continued fraction expansion of x . Here we study the Hausdorff dimension of exceptional sets on which diff erent growth rates are achieve
4、d. Keywords:Hausdorff measure ，Hausdorff dimension，the continued fraction，partial quotients 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知,除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校
5、有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在_年解密后适用本授权书. 本论文属于 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 绪论绪论 1.1 问题研究背景及意义问题研究背景及意义 首先我们注意到测量一个几何对象时，如
6、果测量的结果是正有限的。则我们认 为这样的测量是有意义的。按照传统的方法测量几何图形的长度与面积时，用单位 长度与单位面积的正方形作为测量单位。 线段与正方形的欧几里德维数分别为1与2， 也就是用 1 维与 2 维作为测量的尺度。若用 1 维尺度来测量科克曲线，结果为无穷， 说明所用的尺度太细；而用 2 维尺度来测量，结果为 0，即所用的尺度太粗。因此， 在测量平面中的集合时，其测量结果与所采用的尺度有关。特别地，经典的几何对 象的测量总是采用整数维的尺度，并且这种尺度对于经典的几何对象已经足够了， 但对于科克曲线，1 维的尺度太细而 2 维的尺度则太粗，因此我们可以将科克曲线想 像为介于 1
7、 维与 2 维之间的几何对象，这导致我们考虑应当用介于 1 维与 2 维之间 的尺度来对它进行测量。正是基于上述思想，Hausdorff 将传统的维数概念通过覆盖 的方式推广到一般的非负实数。 设(, )X d为度量空间。 对E的子集U， 定义U的直径为sup( ,Ud x yx yU=）:. 令 E 为 X 的子集。设0，对于 X 的可列（或有限）子集族 i U，如果它满足下列 两条性质： 任一的直径不超过 i U i ， 即有 i |0,s令 1 1 ( )inf| : - ss ii i i HEUUE = 为 的覆盖 ， 这里的 inf 表示对 E 的所有的覆盖取下确界。 注意到作为的
8、函数( ) s HE 单调非减，从而当0时，它趋于一极限 1 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 0 ( )lim( ) ss HEHE = ( ) s HE 称为 E 的 s-维 Hausdorff 测度,它的可能值为 0，正有限或正无穷。如果 ，则称 E 为 s-集。 0( )0 inf:( )0inf:( ) ss H ss Fs HEs HE s HEs HE = = = 设是FX的一个网，则是关于FX的 s-Hausdorff 维数, , dimH FE的定义如下 , dimsup:( )inf:( )0 ss H FF
9、F Es HEs HE= = 我们经常会遇到无理数的近似计算的问题，由此产生了用无理数逼近无理数的 误差估计问题。 例如： 解二次方程式 2 310 xx =， 我们首先可以得到式子 1 3x x =+， 未知量x仍然出现在方程等式的右边，因此可以用它相等的量 1 3 x +去代替它，这就 给出了 11 33 1 3 x x x =+=+ + 反复几次的用 1 3 x +去代替x，就可以得到 1 3 1 3 1 3 x x =+ + + 因为右边x连续出现， 它似乎并没有更接近方程的解。 这些初步的计算提出了以下几 个问题。首先，如果我们算出越来越多地渐进分数，是否能不断的得到x的值越来越 好
10、的近似值呢？其次，假如我们把得到的式子的步骤无限继续下去，就可以得到一 个无名的表达式 1 3 1 3 3 x =+ + +? 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 那么上式等式右边不就是方程的解吗？这样连分数就产生了。十七世纪和十八世纪 的许多大数学家都研究过连分数，现在它仍然是一个非常值得研究，活跃的课题。 1.2 文献综述及研究进程文献综述及研究进程 在文献1中介绍了连分数的如下性质 (i) 对于无限连分数 0121 , mm a a aaa =?，lim n n n p q 存在， 并且为一个无理数。 (ii) 对于任意的无理数
11、，都可以展成唯一的无限连分数 0121 , mm a a aaa ?， 并且有lim n n n p q =。 这保证了下面的式子的成立，即 对于任意的无理数，都可以把它展成连分数的形式 (0,1)x 123 1 2 3 1 , 1 1 xa a a a a a = + + + ? ? 其中为正整数， 并且有?, 321 aaalim n n n p x q =， 其中 121 , n nn n p a aaa q =?为x的第n个 渐进分数 从上式中可以清楚的知道， 不完全商的增长速率对于渐进分数 n a n n p q 的增长速率有一 个相对的增长速率，因为在文献2,3中，任意无理数(0,
12、1)x，利用定理 和定理的结论有 Khinchin Levy log lim0 n n a n =，和 2 log| lim 6log2 n n n p x q n = 3 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 由上面两个极限等式可以得到如下极限等式对(0,1)x 1 log lim0 log| n n n n a p x q + = 显然这个等式从某种意义上刻画了不完全商的增长速率对于渐进分式 n a n n p q 的 增长速率有一个相对的增长速率， 这时我们想到， 使得上式成立的无理数有哪些呢？ 那些无理数所组成的集合有一些怎么样
13、的性质或者特征呢？为此，我们有必 要对这个特殊的集合进行研究，对此需要作出这个集合 (0,1)x () = = + t q p x a xt n n n n |log log suplim:1 , 0)( 1 显然当时， 由于对有0t =(0,1)x 1 log lim0 log| n n n n a p x q + = 可以得到上面的集合的 Lebesgne 测度为 1。而当或者不存在时，这个集合的测度和维数我们都还不是很清楚，同 时我们应该清楚的认识到这个集合的维数在 0， 1 之间， 所以 Lebesgne 测度已经不能 满足我们对这个集合的研究了。为此我们需要应用将传统的维数概念通过覆
14、盖的方 式推广到一般的非负实数 Hausdorff 维数。 0t 而在文献4中这个特殊集合的引入只是为了对不完全商的增长速率进行研 究，主要是用来描述不完全商的增长速率。并且在文献5中用到了多重分析的方 法对这个集合的维数进行了研究，而我们这里将要采用一种更为简单的方法来得到 这个特殊集合的维数。因为我们发现，对 n a n a (0,1)x等式 1 log lim0 log| n n n n a p x q + = 中不仅含有 4 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 不完全商还很有渐进分式 n a n n p q ， 如果同时考虑的话会为我们的研究带来很多不必要 的麻烦及阻碍。如果我们能够将等式转化为只含有渐进分式 n n p q 的话那么问题的解决 将变得方便很多。而我们可以由连分数的相关性质可以推出结论 2 11 11 |0m 0 121 1 , mm a a aaa =+ ? 由连分数的定义可知 121 ,1 mm a aaa ?。又由于为整数，也为整数，所以 0 a 0 a也是整数。 故 121 ,1 mm a aaa =?。 由为自然数可得 0 a 1 1,1ma=， 故 同时 0 1,aa= 1,1a=。所以可得到对于1k
