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1、上海中学数学2014年第5期 一、引式：赫尔德不等式 赫尔德不等式的推论变形与运用 200136 复旦大学附属中学黄立羽 设a。o(1i囟行，1m )，若aj(1勺优)， 且d。4-a。+a。一1，则()嘞 J 一 1 i =1i一1 11 显然，当这个不等式只有两项，即当+三一1 pq 时，( a- op+一彳+r：) 古( yg+y7+Y：) 寺z。Y。 +y1+Ly。，当a1一a2时即为(Cauchy)不等 式，从中可以看到Cauchy不等式是H ol der不等式 的特殊情况 二、变形与运用 下面呈现一个基本的不等式： 程组的基本方法和思路，这节课的目标就达到了它 会为学生打开一扇窗，
2、透过这扇窗，他们会感到还有 一个更神秘、更美妙的“世界” 这里需要理清一条“线索”，设计“问题串”，为学 生提供一个“支架”，让他们沿着这个“支架”去自主 攀登根据学生的认知基础，算筹是什么?算筹怎么 表示数?算筹怎么解方程组?是这节课的关键问 题而与这三个关键问题相关联的是“密码图”，这是 古人留下的破解谜底的主要线索郑老师围绕“密码 图”设计了四个环节：猜想、探秘、破解、设计四个环 节紧扣主题，紧密相连，具有启发性、趣味性、层次 性、探究性，是这节课一个很好的架构 三、教学过程自然精彩 理解“夜叉、哪吒”问题，主要需要语文学科知 识，被安排在课前由学生自行解决算筹是什么，算 筹怎么表示数的
3、问题，则通过观看视频解决关键是 用算筹解一次方程组，这需要学生理解密码图这里 有计算，有推理，有表达形式上的差异通过将密码 图译成数字图再对应方程，一条思路便清晰起来虽 然学生探究并不顺利，但所走的弯路是必须的、有效 的、精彩的和有价值的 纵观教学全过程，无论是猜想、探秘，还是破解、 设计，都是在预设中由学生自主完成，整个教学活动 通过师生之间、学生之间的积极交往和互动，通过学 生的操作、交流、思考，形成连续不断的自主建构过 暑2+象2糕(mAl，a2 A ：R十) 这便是众所周知的柯西不等式的变形，证明过 程如下： 由 柯 西 不 等 式 ：(筹+筹)(A，+Az) 候滴承)2，h一箬+耠
4、糕，当且仅当薯一筹时等号成立，由此可以 舢 剐a百i 2嵩(E ai )2 叫胀 确， 这一命题成立后，不妨提出一个猜想： 程同时由于问题本身的趣味性、挑战性，学生表现 出浓厚的兴趣，成功的体验更使他们充满自信，在被 中国古代数学的辉煌成就所吸引、所感染的同时，实 现数学情感的升华 根据数学学习的三个阶段：输入阶段(猜想)、新 旧知识相互作用阶段(探秘、破解)和操作应用阶段 (设计)，无论是激趣还是设疑，郑老师都充分考虑了 学生的认知基础，保证在学生的最近发展区内，学生 有兴趣、能理解、可接受、能解决上海市中小学数 学课程标准指出：“数学教学的设计和实施方式，要 由重教转为重学，由强制学生适合
5、教学转为 创造适合学生的教学达到教为学服务，促使 学生爱学、会学和会思考”郑老师的这节课 做到了 参考文献 1 刘胜华天工开物2 M 上海科学技术文献出版社， 2006 2徐品方，张红，宁锐编著中学数学简史M 科学出版 社，2007 3 李文林数学史教程M 高等教育出版社，2000 4张顺燕编著数学的美与理 M 北京大学出版社， 2004 5孑L凡哲，曾峥编著数学学习心理学M 北京大学出版 社，2009 6上海市教育委员会上海市中小学学课程标准( 试行) M 上海教育出版社，2004 上海中学数学2014年第5期 美国高中数学邀请赛(A IM E2014)试题与解答 20000l上海市格致中学
6、殷琦涛朱兆和 1亚伯粉刷房子需要15小时，贝亚粉刷房子 的速度比亚伯快50，科埃粉刷房子的速度是亚伯 的两倍开始粉刷时，亚伯先单独工作了15小时， 然后贝亚加入进来，两人一起工作；当房子的一半粉 刷完时，科埃也加入进来，三人一起工作，直至房子 粉刷完问：粉刷完这问房子共用了多少分钟时间? 2阿诺德研究三种健康风险因子A ，B，C在男 性人口中的流行性在男性中随机选一人，他仅有一 种健康风险因子( 但没有其他两种)的概率是015 他仅有其中两种健康风险因子( 但没有第三种)的概 率是014在同时有A ，B 两种健康风险因子的男 定理1 等+等箐(A，Bm6 R十，押EN +) 下面使用赫尔德不等
7、式证明： 证法1：因为茅苦+矛备一1，行1_l，z11 则 原 式 甘f令 +号 )南(盘+6)南 A +B 目(丛)12_(m)者A+B f 笋)”1(A”1+B”ln”)而lA+B c去 ， 南”+c吉 ， 南”A”1 E( b，南 ”1 +B ( 口) 南 川责 ( 土)南(日)尚B+() 南(b)。- SiA A +B aD 证 法2： 令s一(等+等)南(日+6)南 (等 ；)熹 口 南+(1Bn-+1)而1 6南A +B 根据以上不等式，可以用归纳法得到一个更有 用的不等式。 之理2妻私掣。叫m 一。 蚤A矿 kEN +) 证明：同样，只需将筹看作筹无 性中，有三种健康风险因子的男
8、性的比例是在没 0 有健康风险因子A的男性中，没有这三种健康风险 因子的男性的比例是上，其中声，q是互质的正整 q 数，求P+o的值 3如图1(1)，一个矩形边长分别为a与36在矩 形的每个顶点与长为36的边的中点处各装了一个铰 链，将长为n的边向下压，在压的过程中保持长为a的 边互相平行，得到一个如图1(2)所示的凸六边形当这 个六边形的长为a的边互相平行，且距离为24时，六 推论均值( A M G M ) 不等式的又一种证明： (口j +n+口：)”(起口?乜i 口；日i)”， (IPn：)n”(n，。a。)。，这iT_是均值不等式 (2：n：) n”(n，。a。)。，这是均值不等式 。当
9、q+1一行时，qn- 1， 妻鲁望些 J一1i (A，)7r1(A，)”I (1)堕垫d旦生沤瓦丽，由 H older 不等式： (2)若m 1，m 2m 。一1，则(m 1)”1+( m 2)一1+ (m 。)H 上+土+上 nLlm 2 fl Ln 证明：(m 1)一1+( m 2) 一1+(m 。) ”1 ( m2) ”+( 优3) ”+( m 1) ”( m 。) 一1+ (m。一，)一一，)( 上+上+土)”，(m。)”，+ f)L、yt 2yL“ (讹) 州+() 川土+土+土证明完毕 1f t IH knh 柯西不等式在初等数学中起到了无可替代的作 用，较为可惜的是，它较多的时候仅对于平项有 用而将赫尔德不等式推论变形，将会起到事半功倍 的效果 1lj 、，n ， 一 ， 口 一 ， 口(行 L 、，n+丑+ 一 吼 + m 旧 ( 口 H 行一 淳 一 塾一行 即
